Решение показательных уравнений (Вариант 2)

Решение Варианта 2. 1) \( 2^{x-9} = 1 \) Так как \( 1 = 2^0 \), то: \( 2^{x-9} = 2^0 \) \( x - 9 = 0 \) \( x = 9 \) Ответ: 9. 2) \( 0,6^{4x-11} = 1 \) Так как \( 1 = 0,6^0 \), то: \( 4x - 11 = 0 \) \( 4x = 11 \) \( x = 2,75 \) Ответ: 2,75. 3) \( (\frac{5}{23})^{5x} = (\frac{5}{23})^{-1} \) Основания одинаковы, приравниваем показатели: \( 5x = -1 \) \( x = -0,2 \) Ответ: -0,2. 4) \( 512^x = \frac{1}{8} \) Представим \( 512 \) как \( 8^3 \), а \( \frac{1}{8} \) как \( 8^{-1} \): \( (8^3)^x = 8^{-1} \) \( 8^{3x} = 8^{-1} \) \( 3x = -1 \) \( x = -\frac{1}{3} \) Ответ: \( -\frac{1}{3} \). 5) \( 4 \cdot 256^x = 1024 \) Разделим обе части на 4: \( 256^x = 256 \) \( 256^x = 256^1 \) \( x = 1 \) Ответ: 1. 6) \( 2^{x+1} \cdot 2^{2x-1} = 1 \) При умножении показатели складываются: \( 2^{(x+1) + (2x-1)} = 2^0 \) \( 3x = 0 \) \( x = 0 \) Ответ: 0. 7) \( 20^x = 7^x \) Разделим обе части на \( 7^x \): \( (\frac{20}{7})^x = 1 \) \( (\frac{20}{7})^x = (\frac{20}{7})^0 \) \( x = 0 \) Ответ: 0. 8) \( 3^{x+1} - 3^{x-2} - 3^x = 17 \) Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть \( 3^{x-2} \): \( 3^{x-2} \cdot (3^3 - 1 - 3^2) = 17 \) \( 3^{x-2} \cdot (27 - 1 - 9) = 17 \) \( 3^{x-2} \cdot 17 = 17 \) Разделим на 17: \( 3^{x-2} = 1 \) \( x - 2 = 0 \) \( x = 2 \) Ответ: 2. 9) \( 81^x - 7 \cdot 9^x - 18 = 0 \) Пусть \( 9^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда \( 81^x = t^2 \). \( t^2 - 7t - 18 = 0 \) По теореме Виета: \( t_1 = 9 \), \( t_2 = -2 \) (не подходит, так как \( t > 0 \)). Вернемся к замене: \( 9^x = 9 \) \( x = 1 \) Ответ: 1. Ответы на контрольные вопросы: 1. Показательными называются уравнения, в которых неизвестное находится в показателе степени при постоянном основании. 2. Основные способы решения: - Метод приведения к общему основанию. - Метод вынесения общего множителя за скобки. - Метод введения новой переменной (замена). - Графический метод. 3. Алгоритм решения: - Используя свойства степеней, привести обе части уравнения к одному основанию. - Приравнять показатели степеней (перейти к равносильному уравнению). - Решить полученное уравнение. - Выполнить проверку (при необходимости) и записать ответ.