Решение задачи: Прямоугольный параллелепипед (диагональ и площадь)

Ниже представлено решение задач со второго листа, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: прямоугольный параллелепипед с ребрами \(a, b, c\). Найти: длину диагонали \(d\) и площадь полной поверхности \(S\). Решение: Формула диагонали: \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). Формула площади: \(S = 2(ab + bc + ac)\). Для вариантов а) и б) (данные одинаковые): \(a = 1 \text{ см}, b = 3 \text{ см}, c = 4 \text{ см}\). \[d = \sqrt{1^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} \text{ см}\] \[S = 2(1 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 1 \cdot 4) = 2(3 + 12 + 4) = 2 \cdot 19 = 38 \text{ см}^2\] Задача 2. Дано: прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). \(CA_1 = \sqrt{38}\) (диагональ параллелепипеда), \(DD_1 = 5\) (высота \(c\)), \(BC = 3\) (ширина \(b\)). Найти: длину ребра \(BA\) (длина \(a\)). Решение: Используем формулу диагонали: \(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\). \[(\sqrt{38})^2 = a^2 + 3^2 + 5^2\] \[38 = a^2 + 9 + 25\] \[38 = a^2 + 34\] \[a^2 = 38 - 34 = 4 \Rightarrow a = 2\] Ответ: \(BA = 2 \text{ см}\). Задача 3. Дано: правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\). \(SO = 54\) (высота \(H\)), \(AC = 144\) (диагональ основания). Найти: боковое ребро \(SA\). Решение: В основании лежит квадрат, \(O\) — точка пересечения диагоналей. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(SOA\). Катет \(OA\) равен половине диагонали \(AC\): \[OA = \frac{AC}{2} = \frac{144}{2} = 72\] По теореме Пифагора для \(\triangle SOA\): \[SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{54^2 + 72^2} = \sqrt{2916 + 5184} = \sqrt{8100} = 90\] Ответ: \(SA = 90\). Задача 4 (6В). Дано: правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\). Найти: боковое ребро \(SC\). Решение: Аналогично предыдущей задаче, \(SC = \sqrt{SO^2 + (\frac{BD}{2})^2}\). а) \(SO = 9, BD = 24\): \[SC = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\] б) \(SO = 64, BD = 96\): \[SC = \sqrt{64^2 + 48^2} = \sqrt{4096 + 2304} = \sqrt{6400} = 80\] Задача 5. Дано: правильная треугольная пирамида \(SABC\). \(BC\) — ребро основания (\(a\)), \(SL\) — апофема (\(h_{бок}\)). Найти: площадь боковой поверхности \(S_{бок}\). Решение: Формула площади боковой поверхности: \(S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_{бок}\), где \(P = 3 \cdot BC\). \[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot BC) \cdot SL\] а) \(BC = 6, SL = 5\): \[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 6) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 5 = 45\] б) \(BC = 7, SL = 16\): \[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 7) \cdot 16 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 16 = 21 \cdot 8 = 168\] в) \(BC = 4, SL = 21\): \[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 4) \cdot 21 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 21 = 6 \cdot 21 = 126\]