Решение задач по тригонометрии (задания 12-22)

Ниже представлены решения задач с 12 по 22 из второй колонки таблицы. Задание 12. Применим формулы синуса суммы в числителе и знаменателе: \[ \frac{\sin 7^\circ \cos 47^\circ + \sin 47^\circ \cos 7^\circ}{\sin 13^\circ \cos 41^\circ + \cos 13^\circ \sin 41^\circ} = \frac{\sin(7^\circ + 47^\circ)}{\sin(13^\circ + 41^\circ)} = \frac{\sin 54^\circ}{\sin 54^\circ} = 1 \] Задание 13. Применим формулу косинуса суммы в числителе и синуса суммы в знаменателе: \[ \frac{\cos 51^\circ \cos 12^\circ - \sin 51^\circ \sin 12^\circ}{\sin 13^\circ \cos 14^\circ + \cos 13^\circ \sin 14^\circ} = \frac{\cos(51^\circ + 12^\circ)}{\sin(13^\circ + 14^\circ)} = \frac{\cos 63^\circ}{\sin 27^\circ} \] Так как \( \cos 63^\circ = \sin(90^\circ - 63^\circ) = \sin 27^\circ \), то: \[ \frac{\sin 27^\circ}{\sin 27^\circ} = 1 \] Задание 14. Используем формулу произведения синусов: \( \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \). \[ \sin 105^\circ \sin 75^\circ = \frac{1}{2}(\cos 30^\circ - \cos 180^\circ) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - (-1)\right) = \frac{\sqrt{3} + 2}{4} \] Задание 15. Используем формулу произведения синуса на косинус: \( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) \). \[ \sin \frac{7\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\sin \frac{8\pi}{24} + \sin \frac{6\pi}{24}\right) = \frac{1}{2}\left(\sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4} \] Задание 16. Используем формулу произведения косинусов: \( \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) \). \[ \cos 135^\circ \cos 105^\circ = \frac{1}{2}(\cos 240^\circ + \cos 30^\circ) = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} \] Задание 17. Используем формулу суммы синусов: \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \). \[ \sin 105^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin 60^\circ \cos 45^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] Задание 18. Используем формулу разности косинусов: \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \). \[ \cos \frac{13\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} = -2 \sin \frac{18\pi}{24} \sin \frac{8\pi}{24} = -2 \sin \frac{3\pi}{4} \sin \frac{\pi}{3} = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2} \] Задание 19. Используем формулу суммы косинусов: \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \). \[ \cos 165^\circ + \cos 75^\circ = 2 \cos 120^\circ \cos 45^\circ = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Задание 20. Применим формулы разности синусов и разности косинусов: \[ \frac{\sin 88^\circ - \sin 32^\circ}{\cos 73^\circ - \cos 17^\circ} = \frac{2 \sin 28^\circ \cos 60^\circ}{-2 \sin 45^\circ \sin 28^\circ} = \frac{\cos 60^\circ}{-\sin 45^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{2}/2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Задание 21. \[ \frac{\sin 56^\circ - \sin 4^\circ}{\cos 56^\circ - \cos 4^\circ} = \frac{2 \sin 26^\circ \cos 30^\circ}{-2 \sin 30^\circ \sin 26^\circ} = -\frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} = -ctg 30^\circ = -\sqrt{3} \] Задание 22. Заметим, что \( \cos 75^\circ = \sin 15^\circ \) и \( \cos 15^\circ = \sin 75^\circ \). \[ \frac{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ}{\sin 75^\circ + \sin 15^\circ} = \frac{2 \sin 30^\circ \cos 45^\circ}{2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ} = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} \cdot \frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = tg 30^\circ \cdot ctg 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{3} \]