Решение задач по геометрии с 1 по 5

Ниже представлены решения задач с 1 по 5, оформленные для записи в школьную тетрадь. Задача 1. Пропорциональные отрезки Дано: \[ MN : KL = AB : CD \] Нужно проверить, в каком из вариантов пропорция верна. Проверим второй вариант: \[ MN = 6, KL = 7, AB = 15, CD = 17,5 \] \[ \frac{6}{7} \approx 0,857 \] \[ \frac{15}{17,5} = \frac{150}{175} = \frac{6 \cdot 25}{7 \cdot 25} = \frac{6}{7} \] Отношения равны. Ответ: \( MN = 6 \text{ см}, KL = 7 \text{ см}, AB = 15 \text{ см}, CD = 17,5 \text{ см} \). --- Задача 2. Биссектриса в треугольнике Дано: \[ GA \text{ — биссектриса } \triangle FGH \] \[ FG : GH = 5 : 9 \] \[ AH - AF = 8 \text{ см} \] Найти: \( FH \) Решение: 1. По свойству биссектрисы треугольника: \[ \frac{AF}{AH} = \frac{FG}{GH} = \frac{5}{9} \] 2. Пусть \( AF = 5x \), тогда \( AH = 9x \). 3. По условию \( AH - AF = 8 \): \[ 9x - 5x = 8 \] \[ 4x = 8 \Rightarrow x = 2 \] 4. Найдем отрезки: \[ AF = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см} \] \[ AH = 9 \cdot 2 = 18 \text{ см} \] 5. Находим сторону \( FH \): \[ FH = AF + AH = 10 + 18 = 28 \text{ см} \] Ответ: 28. --- Задача 3. Определение подобных треугольников Дано: \( \triangle ABC \sim \triangle MNK \). Записать отношение сторон. Решение: У подобных треугольников сходственные стороны лежат против равных углов. Порядок букв в названии указывает на соответствие вершин. \[ \frac{MN}{AB} = \frac{NK}{BC} = \frac{MK}{AC} \] Заполняем пропуски в форме: MN : AB = NK : BC = MK : AC --- Задача 4. Периметры подобных треугольников Дано: Стороны \( \triangle_1 \): \( a = 5 \text{ см}, b = 10 \text{ см}, c = 7 \text{ см} \). \( P_{\triangle_2} = 110 \text{ см} \). Найти: меньшую сторону \( \triangle_2 \). Решение: 1. Найдем периметр первого треугольника: \[ P_1 = 5 + 10 + 7 = 22 \text{ см} \] 2. Найдем коэффициент подобия \( k \): \[ k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{110}{22} = 5 \] 3. Меньшая сторона первого треугольника равна \( 5 \text{ см} \). Значит, меньшая сторона подобного ему треугольника будет: \[ a_2 = 5 \cdot k = 5 \cdot 5 = 25 \text{ см} \] Ответ: 25. --- Задача 5. Отношение площадей подобных треугольников Дано: Сходственные стороны: \( a_1 = 6 \text{ см}, a_2 = 42 \text{ см} \). \( S_1 = 15 \text{ см}^2 \). Найти: \( S_2 \). Решение: 1. Найдем коэффициент подобия \( k \): \[ k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{42}{6} = 7 \] 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_2}{S_1} = k^2 \] \[ S_2 = S_1 \cdot k^2 = 15 \cdot 7^2 = 15 \cdot 49 \] 3. Вычисляем: \[ S_2 = 735 \text{ см}^2 \] Ответ: 735.