Решение задач 6, 7, 8, 9 и 11 с подробным объяснением

Ниже представлены решения задач с новых фотографий (задачи 6, 7, 8, 9 и 11), оформленные для записи в тетрадь. Задача 6. Сторона квадрата Дано: Равнобедренный прямоугольный треугольник, гипотенуза \( c = 6 \). Квадрат вписан так, что две вершины на гипотенузе, две на катетах. Найти: сторону квадрата \( x \). Решение: 1. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны \( 45^\circ \). 2. При таком расположении квадрата на гипотенузе образуются два малых прямоугольных треугольника по краям. Они также являются равнобедренными (так как один угол \( 45^\circ \), а другой \( 90^\circ \)). 3. Следовательно, отрезки гипотенузы от вершин треугольника до вершин квадрата равны стороне квадрата \( x \). 4. Гипотенуза большого треугольника складывается из трех частей: отрезок \( x \), сторона квадрата \( x \) и еще один отрезок \( x \). \[ x + x + x = 6 \] \[ 3x = 6 \] \[ x = 2 \] Ответ: 2. --- Задача 7. Теорема Пифагора Дано: Гипотенуза \( c = 13 \text{ см} \). Катет \( a = 12 \text{ см} \). Найти: катет \( b \). Решение: 1. По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] 2. Выразим неизвестный катет: \[ b^2 = c^2 - a^2 \] \[ b^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 \] \[ b = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \] Ответ: 5. --- Задача 8. Угол между диагоналями прямоугольника Дано: Прямоугольник \( ABCD \). \( \angle OAD = 34^\circ \). Найти: наименьший угол между диагоналями. Решение: 1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения \( O \) делятся пополам. Значит, \( \triangle AOD \) — равнобедренный (\( AO = OD \)). 2. Углы при основании равны: \( \angle ODA = \angle OAD = 34^\circ \). 3. Сумма углов треугольника \( 180^\circ \). Найдем угол \( \angle AOD \): \[ \angle AOD = 180^\circ - (34^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ \] 4. Смежный с ним угол \( \angle AOB \) будет вторым углом между диагоналями: \[ \angle AOB = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ \] 5. Наименьший угол — это \( 68^\circ \). Ответ: 68. --- Задача 9. Внешний угол треугольника Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный (\( AB = BC \)), основание \( AC \). Внешний угол при вершине \( A \) равен \( 107^\circ \). Найти: \( \angle ABC \). Решение: 1. Найдем внутренний угол \( \angle BAC \) (смежный с внешним): \[ \angle BAC = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ \] 2. Так как треугольник равнобедренный с основанием \( AC \), углы при основании равны: \[ \angle BCA = \angle BAC = 73^\circ \] 3. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Найдем угол при вершине \( B \): \[ \angle ABC = 180^\circ - (73^\circ + 73^\circ) = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ \] Ответ: 34. --- Задача 11. Площадь трапеции Дано: Верхнее основание \( a = 6 \). Нижнее основание \( b = 4 + 8 = 12 \). Высота \( h = 3 \). Найти: площадь \( S \). Решение: 1. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \] 2. Подставим значения: \[ S = \frac{6 + 12}{2} \cdot 3 = \frac{18}{2} \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27 \] Ответ: 27.