Решение задач по геометрии: ромб и трапеция

Ниже представлены решения задач для записи в тетрадь. Задача 1. Площадь ромба Дано: Диагонали ромба \(d_1 : d_2 = 3 : 4\), их сумма \(d_1 + d_2 = 28\). Найти: Большую диагональ и площадь ромба. Решение: 1) Пусть \(x\) — коэффициент пропорциональности. Тогда диагонали равны \(3x\) и \(4x\). 2) Составим уравнение по условию суммы: \[ 3x + 4x = 28 \] \[ 7x = 28 \] \[ x = 4 \] 3) Найдем длины диагоналей: Меньшая диагональ: \(d_1 = 3 \cdot 4 = 12\) Большая диагональ: \(d_2 = 4 \cdot 4 = 16\) 4) Вычислим площадь ромба по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96 \] Ответ: Большая диагональ: \(16\) Площадь ромба: \(96\) Задача 2. Трапеция Дано: Равнобокая трапеция, боковая сторона \(c = 2\) см, основания \(a = 5\) см и \(b = 7\) см. Найти: Периметр, меньший угол, больший угол. Решение: 1) Найдем периметр трапеции (сумма всех сторон): \[ P = a + b + 2c = 5 + 7 + 2 \cdot 2 = 12 + 4 = 16 \text{ см} \] 2) Чтобы найти углы, проведем высоту из вершины верхнего основания к нижнему. Она отсечет на нижнем основании отрезок \(k\): \[ k = \frac{b - a}{2} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ см} \] 3) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза \(c = 2\)) и этим отрезком (катет \(k = 1\)). Так как катет в два раза меньше гипотенузы (\(1 = 2 : 2\)), то угол, лежащий против этого катета, равен \(30^{\circ}\). Следовательно, угол при основании (между боковой стороной и нижним основанием) равен: \[ \alpha = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \] Это меньший угол трапеции. 4) Найдем больший угол трапеции (сумма углов при боковой стороне равна \(180^{\circ}\)): \[ \beta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \] Ответ: Периметр: \(16\) Меньший угол: \(60^{\circ}\) Больший угол: \(120^{\circ}\)