Решение задачи: Найти скорость поршня v0 в адиабатном процессе

Для решения задачи выберем Вариант №1 (так как в таблице под этим номером стоит первая «звездочка» для искомой величины \(v_0\)). Задача: В горизонтальном цилиндре находится одноатомный газ. Система теплоизолирована (процесс адиабатный). Поршень массой \(m\) движется без трения. Найти скорость поршня \(v_0\). Дано: \(p_1 = 10 \text{ кПа} = 10^4 \text{ Па}\) \(V_1 = 5 \text{ л} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\) \(m = 3 \text{ кг}\) \(p_2 = 6 \text{ кПа} = 6 \cdot 10^3 \text{ Па}\) \(V_2 = 6,8 \text{ л} = 6,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\) \(i = 3\) (так как газ одноатомный) Найти: \(v_0 - ?\) Решение: Согласно закону сохранения энергии для теплоизолированной системы, работа, совершенная газом, идет на изменение его внутренней энергии и сообщение поршню кинетической энергии. Поскольку внешнее давление отсутствует, уравнение баланса энергии выглядит так: \[ \Delta U + E_k = 0 \] \[ U_1 = U_2 + \frac{mv_0^2}{2} \] Откуда кинетическая энергия поршня: \[ \frac{mv_0^2}{2} = U_1 - U_2 \] Внутренняя энергия идеального газа выражается через давление и объем по формуле: \[ U = \frac{i}{2} pV \] Для одноатомного газа (\(i=3\)): \[ U = \frac{3}{2} pV \] Подставим значения внутренней энергии в уравнение баланса: \[ \frac{mv_0^2}{2} = \frac{3}{2} p_1 V_1 - \frac{3}{2} p_2 V_2 \] \[ \frac{mv_0^2}{2} = \frac{3}{2} (p_1 V_1 - p_2 V_2) \] Выразим скорость \(v_0\): \[ mv_0^2 = 3 (p_1 V_1 - p_2 V_2) \] \[ v_0 = \sqrt{\frac{3 (p_1 V_1 - p_2 V_2)}{m}} \] Произведем расчет: \[ v_0 = \sqrt{\frac{3 \cdot (10^4 \cdot 5 \cdot 10^{-3} - 6 \cdot 10^3 \cdot 6,8 \cdot 10^{-3})}{3}} \] \[ v_0 = \sqrt{\frac{3 \cdot (50 - 40,8)}{3}} \] \[ v_0 = \sqrt{50 - 40,8} = \sqrt{9,2} \approx 3,03 \text{ м/с} \] Ответ: \(v_0 \approx 3,03 \text{ м/с}\).