Решение задачи: Площадь фигуры, ограниченной параболой y = 2x - x^2

На доске представлена задача на нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной параболой и осью абсцисс. Ниже приведено оформление решения, которое удобно переписать в тетрадь. Задача №1 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: \[ y = 2x - x^2 \] \[ y = 0 \] Решение: 1. Найдем координаты вершины параболы \( y = -x^2 + 2x \): Коэффициенты: \( a = -1 \), \( b = 2 \). \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2}{-2} = 1 \] \[ y_0 = 2 \cdot 1 - 1^2 = 2 - 1 = 1 \] Вершина параболы находится в точке (1; 1). 2. Найдем точки пересечения с осью \( OX \) (где \( y = 0 \)): \[ 2x - x^2 = 0 \] \[ x(2 - x) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 2 \] Точки пересечения: (0; 0) и (2; 0). 3. Составим таблицу значений для построения графика: x | 0 | 1 | 2 | 3 | -1 --|---|---|---|---|--- y | 0 | 1 | 0 | -3 | -3 4. Построение графика: (Нарисуйте в тетради координатную плоскость. Отметьте точки из таблицы и проведите через них плавную линию — параболу, ветви которой направлены вниз. Заштрихуйте область между параболой и осью \( OX \) от 0 до 2). 5. Вычислим площадь \( S \) с помощью определенного интеграла: \[ S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = \left. \left( \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_0^2 = \left. \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \right|_0^2 \] Подставим верхний и нижний пределы интегрирования: \[ S = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) = 4 - \frac{8}{3} = 4 - 2\frac{2}{3} = 1\frac{1}{3} \] В десятичных дробях это примерно: \[ S \approx 4 - 2,67 = 1,33 \] (На доске приведено округленное значение \( 1,4 \), но точный результат \( 1\frac{1}{3} \) или \( 1,33... \)). Ответ: \( S = 1\frac{1}{3} \) (или \( \approx 1,4 \)).