Решение задачи: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x - x^2 и y = 0

Для того чтобы правильно переписать задачу в тетрадь, выполните следующие шаги. Ниже представлено полное решение с описанием того, как именно должен выглядеть график. Задача №1 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: \[ y = 2x - x^2 \] \[ y = 0 \] Решение: 1. Исследование функции и построение графика. Данная функция \( y = -x^2 + 2x \) является квадратичной, её график — парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицателен). Найдем вершину параболы: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \] \[ y_0 = 2 \cdot 1 - 1^2 = 1 \] Вершина: \( (1; 1) \). Найдем точки пересечения с осью \( OX \) (при \( y = 0 \)): \[ 2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2 - x) = 0 \] \[ x_1 = 0; \quad x_2 = 2 \] Таблица значений для графика: x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 --|----|---|---|---|--- y | -3 | 0 | 1 | 0 | -3 2. Графическое изображение (инструкция для тетради): Начертите оси координат. Отметьте единичный отрезок (например, 2 клетки). Поставьте точки: \( (0;0) \), \( (1;1) \), \( (2;0) \). Соедините их плавной дугой. Проведите ветви вниз к точкам \( (-1;-3) \) и \( (3;-3) \). Заштрихуйте область, которая находится над осью \( OX \) и под куполом параболы (от 0 до 2). Это и есть искомая площадь \( S \). 3. Вычисление площади через интеграл: \[ S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx \] Применим формулу Ньютона-Лейбница: \[ S = \left[ \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 \] Подставляем пределы: \[ S = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ S = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \] Если переводить в десятичную дробь (как на доске): \[ S \approx 1,33 \] (Примечание: на доске допущена небольшая неточность в округлении \( 4 - 2,6 = 1,4 \), более точный результат \( 1,33 \)). Ответ: \( S = 1\frac{1}{3} \) кв. ед.