Решение задач 1-10 по фотографии

Ниже представлены решения задач с первой по десятую фотографию в удобном для переписывания виде. 1. Арифметический квадратный корень Вычислите: \(\frac{1}{5}\sqrt{25} + \frac{2}{3}\sqrt{\frac{81}{4}}\) Решение: \[ \frac{1}{5} \cdot 5 + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} = 1 + \frac{18}{6} = 1 + 3 = 4 \] Ответ: 4 2. Теорема Виета Найдите сумму корней уравнения \(10x^2 - 2x - 13 = 0\). Решение: По теореме Виета для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) сумма корней \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\). \[ x_1 + x_2 = -\frac{-2}{10} = \frac{2}{10} = 0,2 \] Ответ: 0,2 3. Два различных корня Уравнение имеет два различных корня, если дискриминант \(D > 0\). Проверим варианты: - \(x^2 - 5x + 1 = 0\): \(D = 25 - 4 = 21 > 0\) (Да) - \(2x^2 + 5x - 1 = 0\): \(D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 33 > 0\) (Да) - \(x^2 + 8x - 16 = 0\): \(D = 64 - 4 \cdot (-16) = 128 > 0\) (Да) - \(x^2 - 4x - 5 = 0\): \(D = 16 - 4 \cdot (-5) = 36 > 0\) (Да) В остальных уравнениях \(D < 0\). Ответ: \(x^2 - 5x + 1 = 0\); \(2x^2 + 5x - 1 = 0\); \(x^2 + 8x - 16 = 0\); \(x^2 - 4x - 5 = 0\). 4. Наименьший корень Решите уравнение: \(4x^2 - 6x - 4 = 0\). Разделим на 2: \(2x^2 - 3x - 2 = 0\). \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] \[ x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2; \quad x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -0,5 \] Наименьший корень: -0,5. Ответ: -0,5 5. Квадратный трёхчлен Разложите на множители \(10y^2 + 4y - 6\). Вынесем 2 за скобки: \(2(5y^2 + 2y - 3)\). Найдем корни \(5y^2 + 2y - 3 = 0\): \(D = 4 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 64\). \[ y_1 = \frac{-2 + 8}{10} = 0,6 = \frac{3}{5}; \quad y_2 = \frac{-2 - 8}{10} = -1 \] Разложение: \(2 \cdot 5(y - \frac{3}{5})(y + 1) = 2(5y - 3)(y + 1)\). Ответ: \(2(5y - 3)(y + 1)\) 6. Рациональные и иррациональные числа Проверим выражение 3: \[ (\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5 \] Число 5 — рациональное. Ответ: Номер варианта: 3; Значение: 5. 7. Упростите выражение Выражение: \(\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}\) Общий знаменатель: \((\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 5 - 2 = 3\). Числитель: \((\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (5 - 2\sqrt{10} + 2) - (5 + 2\sqrt{10} + 2) = -4\sqrt{10}\). Значение выражения: \(-\frac{4\sqrt{10}}{3}\). Квадрат значения: \((-\frac{4\sqrt{10}}{3})^2 = \frac{16 \cdot 10}{9} = \frac{160}{9} \approx 17,8\). Ответ: Общий знаменатель: 3; Квадрат значения: 17,8. 8. Кубическое уравнение \((x + 3)^2(x - 3) = 7(x + 3)\) Перенесем всё в одну сторону и вынесем \((x + 3)\): \[ (x + 3) \cdot [(x + 3)(x - 3) - 7] = 0 \] \[ (x + 3)(x^2 - 9 - 7) = 0 \Rightarrow (x + 3)(x^2 - 16) = 0 \] Корни: \(x_1 = -3, x_2 = 4, x_3 = -4\). Количество решений: 3. Сумма решений: \(-3 + 4 + (-4) = -3\). Ответ: Количество: 3; Сумма: -3. 9. Дробно-рациональные уравнения \(\frac{16y - 10}{2y} - \frac{9y}{y + 2} = 0\). ОДЗ: \(y \neq 0, y \neq -2\). \[ \frac{8y - 5}{y} - \frac{9y}{y + 2} = 0 \Rightarrow (8y - 5)(y + 2) - 9y^2 = 0 \] \[ 8y^2 + 16y - 5y - 10 - 9y^2 = 0 \Rightarrow -y^2 + 11y - 10 = 0 \] \[ y^2 - 11y + 10 = 0 \Rightarrow y_1 = 1, y_2 = 10 \] Оба корня входят в ОДЗ. Количество: 2. Произведение: \(1 \cdot 10 = 10\). Ответ: Количество: 2; Произведение: 10. 10. Рациональный корень \(x^2 + 6(1 + \sqrt{6})x + 36\sqrt{6} = 0\) По теореме Виета сумма корней: \(x_1 + x_2 = -6(1 + \sqrt{6}) = -6 - 6\sqrt{6}\). Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = 36\sqrt{6}\). Заметим, что корни: \(x_1 = -6\) и \(x_2 = -6\sqrt{6}\). Рациональный корень: -6. Ответ: Сумма: \(-6 - 6\sqrt{6}\); Рациональный корень: -6.