Решение задач по фото: уравнения и уравнения с параметром

Ниже представлены решения задач с пяти фотографий в удобном для переписывания виде. Задание 1. Система уравнений второй степени Решим систему способом подстановки: \[ \begin{cases} 2y = 2x + 2 \\ x^2 + 2y = 1 \end{cases} \] 1. Из первого уравнения выразим \( 2y \): \[ 2y = 2x + 2 \] 2. Подставим это выражение во второе уравнение: \[ x^2 + (2x + 2) = 1 \] \[ x^2 + 2x + 2 - 1 = 0 \] \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \] 3. Заметим формулу квадрата суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \): \[ (x + 1)^2 = 0 \] \[ x + 1 = 0 \] \[ x = -1 \] 4. Найдем \( y \), подставив \( x \) в выражение для \( 2y \): \[ 2y = 2(-1) + 2 \] \[ 2y = -2 + 2 \] \[ 2y = 0 \] \[ y = 0 \] Ответ: Введите x: -1 Введите y: 0 Задание 2. Уравнение с параметром Дано уравнение \( 2x^2 + x - a = 0 \). Известно, что один из корней равен \( -7,5 \). Чтобы найти \( a \), подставим значение корня в уравнение: \[ 2 \cdot (-7,5)^2 + (-7,5) - a = 0 \] \[ 2 \cdot 56,25 - 7,5 - a = 0 \] \[ 112,5 - 7,5 - a = 0 \] \[ 105 - a = 0 \] \[ a = 105 \] Ответ: 105 Задание 3. Одновременное движение Пусть \( v \) — скорость второго автомобиля (км/ч), тогда \( v + 20 \) — скорость первого автомобиля (км/ч). Расстояние \( S = 120 \) км. Время в пути первого: \( t_1 = \frac{120}{v+20} \), второго: \( t_2 = \frac{120}{v} \). По условию \( t_2 - t_1 = 1 \): \[ \frac{120}{v} - \frac{120}{v+20} = 1 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{120(v+20) - 120v}{v(v+20)} = 1 \] \[ \frac{120v + 2400 - 120v}{v^2 + 20v} = 1 \] \[ 2400 = v^2 + 20v \] \[ v^2 + 20v - 2400 = 0 \] По теореме Виета: \( v_1 = 40 \), \( v_2 = -60 \) (не подходит). Скорость второго автомобиля: \( 40 \) км/ч. Скорость первого автомобиля: \( 40 + 20 = 60 \) км/ч. Ответ: Скорость первого автомобиля: 60 Скорость второго автомобиля: 40 Задание 4. Приведенное квадратное уравнение Дано: \( 2x^2 - 24x + 48 = 0 \). Разделим на 2, чтобы получить приведенное уравнение: \[ x^2 - 12x + 24 = 0 \] По теореме Виета для уравнения \( x^2 + px + q = 0 \): \( x_1 + x_2 = -p = 12 \) \( x_1 \cdot x_2 = q = 24 \) 1. Значение \( x_1 \cdot x_2 \): \[ x_1 \cdot x_2 = 24 \] 2. Значение \( x_1^2 + x_2^2 \): Используем формулу \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \): \[ 12^2 - 2 \cdot 24 = 144 - 48 = 96 \] 3. Значение \( 576 \left( \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} \right) \): Приведем к общему знаменателю в скобках: \[ 576 \left( \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} \right) = 576 \cdot \frac{96}{(x_1 x_2)^2} = 576 \cdot \frac{96}{24^2} = 576 \cdot \frac{96}{576} = 96 \] Ответ: 24; 96; 96. Задание 5. Произведение корней Уравнение: \( 2(x-1)^4 - 2x^2 + 4x - 26 = 0 \). Преобразуем часть \( -2x^2 + 4x \). Заметим, что \( -2(x-1)^2 = -2(x^2 - 2x + 1) = -2x^2 + 4x - 2 \). Тогда \( -2x^2 + 4x = -2(x-1)^2 + 2 \). Подставим в уравнение: \[ 2(x-1)^4 - 2(x-1)^2 + 2 - 26 = 0 \] \[ 2(x-1)^4 - 2(x-1)^2 - 24 = 0 \] Разделим на 2: \[ (x-1)^4 - (x-1)^2 - 12 = 0 \] Пусть \( y = (x-1)^2 \), тогда уравнение примет вид: \[ y^2 - y - 12 = 0 \] (Это первый вариант в списке) 1. Сумма корней уравнения по \( y \): По теореме Виета \( y_1 + y_2 = -(-1) = 1 \). 2. Произведение корней исходного уравнения: Решим \( y^2 - y - 12 = 0 \). Корни: \( y_1 = 4 \), \( y_2 = -3 \). Так как \( y = (x-1)^2 \), то \( y \ge 0 \). Значит, \( (x-1)^2 = 4 \). \[ x-1 = 2 \Rightarrow x_1 = 3 \] \[ x-1 = -2 \Rightarrow x_2 = -1 \] Произведение корней: \( 3 \cdot (-1) = -3 \). Ответ: Выбранное уравнение: \( y^2 - y - 12 = 0 \) Сумма корней по y: 1 Произведение корней исходного уравнения: -3