Решение дробно-рациональных уравнений с фото 1-5 и 1-12

Ниже представлены решения дробно-рациональных уравнений с новых изображений. **Задача 1. Решите уравнение** \[ \frac{4x - x^2}{2} + \frac{x^2 - x}{3} = -x \] Умножим обе части уравнения на \( 6 \), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 3(4x - x^2) + 2(x^2 - x) = -6x \] \[ 12x - 3x^2 + 2x^2 - 2x = -6x \] Приведем подобные слагаемые: \[ -x^2 + 10x = -6x \] \[ -x^2 + 16x = 0 \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(-x + 16) = 0 \] Корни уравнения: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 16 \). Ответ: \( 0; 16 \). **Задача 2. Найдите произведение корней уравнения** \[ \frac{9 + x}{x + 1} - \frac{21}{x - 1} = 0 \] ОДЗ: \( x \neq \pm 1 \). Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{(9 + x)(x - 1) - 21(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = 0 \] \[ 9x - 9 + x^2 - x - 21x - 21 = 0 \] \[ x^2 - 13x - 30 = 0 \] По теореме Виета произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = q \). В нашем случае \( q = -30 \). Ответ: \( -30 \). **Задача 3. Найдите значение b** Сумма дробей равна нулю: \[ \frac{3b}{b - 1} + \frac{b + 4}{1 - b} = 0 \] Заметим, что \( 1 - b = -(b - 1) \). Перепишем уравнение: \[ \frac{3b}{b - 1} - \frac{b + 4}{b - 1} = 0 \] \[ \frac{3b - (b + 4)}{b - 1} = 0 \] \[ \frac{2b - 4}{b - 1} = 0 \] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \[ 2b - 4 = 0 \Rightarrow 2b = 4 \Rightarrow b = 2 \] Значение \( b = 2 \) входит в ОДЗ (\( b \neq 1 \)). Ответ: \( 2 \). **Задача 4. Решите уравнение** \[ \frac{4}{4x^2 - 1} - \frac{x - 6}{2x^2 + x} = \frac{2}{2x - 1} \] Разложим знаменатели на множители: \[ \frac{4}{(2x - 1)(2x + 1)} - \frac{x - 6}{x(2x + 1)} = \frac{2}{2x - 1} \] ОДЗ: \( x \neq 0; x \neq \pm 0,5 \). Общий знаменатель: \( x(2x - 1)(2x + 1) \). \[ 4x - (x - 6)(2x - 1) = 2x(2x + 1) \] \[ 4x - (2x^2 - x - 12x + 6) = 4x^2 + 2x \] \[ 4x - 2x^2 + 13x - 6 = 4x^2 + 2x \] \[ -6x^2 + 15x - 6 = 0 \] Разделим на \( -3 \): \[ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \] \[ D = 25 - 16 = 9 \] \[ x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2; \quad x_2 = \frac{5 - 3}{4} = 0,5 \text{ (не входит в ОДЗ)} \] Ответ: \( 2 \). **Задача 5. Решите уравнение** \[ \frac{(x - 2)(x - 3)}{9x^2 - 1} - \frac{x + 3}{3x - 1} = 2 \] ОДЗ: \( x \neq \pm \frac{1}{3} \). Общий знаменатель: \( (3x - 1)(3x + 1) \). \[ (x - 2)(x - 3) - (x + 3)(3x + 1) = 2(9x^2 - 1) \] \[ (x^2 - 5x + 6) - (3x^2 + x + 9x + 3) = 18x^2 - 2 \] \[ x^2 - 5x + 6 - 3x^2 - 10x - 3 = 18x^2 - 2 \] \[ -2x^2 - 15x + 3 = 18x^2 - 2 \] \[ 20x^2 + 15x - 5 = 0 \] Разделим на \( 5 \): \[ 4x^2 + 3x - 1 = 0 \] \[ D = 9 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 25 \] \[ x_1 = \frac{-3 + 5}{8} = 0,25; \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{8} = -1 \] Ответ: \( -1; 0,25 \).