Решение задач 1-13

Ниже представлены решения задач с 1 по 13 фото в формате, удобном для переписывания в тетрадь. 1. Арифметический квадратный корень Вычислите: \( \frac{1}{3}\sqrt{900} + 7\sqrt{\frac{4}{49}} \) Решение: \[ \frac{1}{3} \cdot 30 + 7 \cdot \frac{2}{7} = 10 + 2 = 12 \] Ответ: 12 2. Теорема Виета Найдите сумму корней уравнения \( 5x^2 - x - 15 = 0 \) Решение: По теореме Виета для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \). \[ x_1 + x_2 = -\frac{-1}{5} = \frac{1}{5} = 0,2 \] Ответ: 0,2 3. Дискриминант квадратного уравнения Какие из уравнений имеют два различных корня? (Условие: \( D > 0 \)) Решение: 1) \( 3x^2+9x+7=0 \): \( D = 81 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 81 - 84 = -3 \) (нет корней) 2) \( 3x^2+9x-7=0 \): \( D = 81 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 81 + 84 = 165 \) (2 корня) 3) \( 3x^2-9x-7=0 \): \( D = 81 + 84 = 165 \) (2 корня) 4) \( 3x^2-9x+7=0 \): \( D = 81 - 84 = -3 \) (нет корней) 5) \( 4x^2+4x-1=0 \): \( D = 16 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32 \) (2 корня) 6) \( 4x^2-4x-1=0 \): \( D = 16 + 16 = 32 \) (2 корня) 7) \( 4x^2+4x+1=0 \): \( D = 16 - 16 = 0 \) (1 корень) 8) \( 4x^2-4x+1=0 \): \( D = 16 - 16 = 0 \) (1 корень) Ответ: варианты 2, 3, 5, 6. 4. Полное квадратное уравнение Решите уравнение \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \). Введите наименьший корень. Решение: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] \[ x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2; \quad x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -0,5 \] Ответ: -0,5 5. Квадратный трёхчлен Разложите на множители \( 5y^2 + 2y - 3 \) Решение: Корни уравнения \( 5y^2 + 2y - 3 = 0 \): \( D = 4 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 64 \). \( y_1 = \frac{-2+8}{10} = 0,6 = \frac{3}{5} \); \( y_2 = \frac{-2-8}{10} = -1 \). Разложение: \( 5(y - \frac{3}{5})(y + 1) = (5y - 3)(y + 1) \). Ответ: (5y - 3)(y + 1) 6. Рациональные и иррациональные числа Значение какого выражения является рациональным? Решение: 1) \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6} \) (ирр.) 2) \( \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6} \) (ирр.) 3) \( (\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = 5 - 2 = 3 \) (рац.) 4) \( (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6} \) (ирр.) Ответ: номер 3; значение 3. 7. Упростите выражение \( \frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \) Решение: Общий знаменатель: \( (\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2}) = 7 - 2 = 5 \). Числитель: \( (\sqrt{7}-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7}+\sqrt{2})^2 = (7 - 2\sqrt{14} + 2) - (7 + 2\sqrt{14} + 2) = -4\sqrt{14} \). Значение: \( \frac{-4\sqrt{14}}{5} \). Квадрат значения: \( (\frac{-4\sqrt{14}}{5})^2 = \frac{16 \cdot 14}{25} = \frac{224}{25} = 8,96 \). Ответ: Общий знаменатель 5; Квадрат результата 8,96. 8. Рациональный корень \( x^2 + 2(1+2\sqrt{2})x + 8\sqrt{2} = 0 \) Решение: По теореме Виета сумма корней: \( -(2(1+2\sqrt{2})) = -2 - 4\sqrt{2} \). Произведение корней: \( 8\sqrt{2} \). Корни: \( -2 \) и \( -4\sqrt{2} \). Рациональный корень: \( -2 \). Ответ: Сумма \( -2 - 4\sqrt{2} \); Рациональный корень -2. 9. Квадратные уравнения с параметром Один из корней \( 2x^2 + x - a = 0 \) равен 2. Найти \( a \). Решение: Подставим \( x = 2 \): \[ 2(2)^2 + 2 - a = 0 \Rightarrow 8 + 2 - a = 0 \Rightarrow a = 10 \] Ответ: 10 10. Приведённое уравнение и теорема Виета \( x^2 - 17x + 52 = 0 \) Решение: 1) \( x_1 \cdot x_2 = 52 \) 2) \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 17^2 - 2 \cdot 52 = 289 - 104 = 185 \) 3) \( 2704(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}) = 2704 \cdot \frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2} = 2704 \cdot \frac{185}{52^2} = 2704 \cdot \frac{185}{2704} = 185 \) Ответ: 52; 185; 185. 11. Степень с отрицательным показателем Вычислите \( (-\frac{2}{7})^{-2} \) Решение: \[ (-\frac{2}{7})^{-2} = (-\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4} = 12,25 \] Ответ: 12,25 12. Свойства степени Выполните вычисления: 1) \( 27^{-3} : 9^{-6} = (3^3)^{-3} : (3^2)^{-6} = 3^{-9} : 3^{-12} = 3^{-9 - (-12)} = 3^3 = 27 \) 2) \( \frac{(3^3)^6 \cdot (3^{-3})^2}{9^4} = \frac{3^{18} \cdot 3^{-6}}{(3^2)^4} = \frac{3^{12}}{3^8} = 3^4 = 81 \) Ответ: 1) 27; 2) 81. 13. Рациональные выражения Найти \( 11a - 7b + 2 \), если \( \frac{4a-5b+6}{5a-4b+6} = 3 \) Решение: \[ 4a - 5b + 6 = 3(5a - 4b + 6) \] \[ 4a - 5b + 6 = 15a - 12b + 18 \] \[ 0 = 11a - 7b + 12 \] \[ 11a - 7b = -12 \] Подставим в искомое выражение: \( -12 + 2 = -10 \). Ответ: -10