Решение задач по математике: Задание 1. Замечательные числа

Ниже представлены решения математических задач, оформленные для записи в тетрадь. Задание 1. Замечательные числа Условие: Найти все трехзначные числа, которые при возведении в квадрат заканчиваются на те же три цифры. Решение: Пусть искомое число равно \(n\). По условию \(n^2\) заканчивается на \(n\), что математически записывается так: \[n^2 \equiv n \pmod{1000}\] \[n^2 - n \equiv 0 \pmod{1000}\] \[n(n - 1) \equiv 0 \pmod{1000}\] Так как \(1000 = 8 \cdot 125\), а числа \(n\) и \(n-1\) взаимно простые (не имеют общих делителей, кроме 1), то одно из них должно делиться на 125. Рассмотрим варианты для трехзначных чисел: 1. Если \(n\) делится на 125: это числа 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875. Проверим их на делимость \(n(n-1)\) на 8: — Для \(n = 375\): \(375 \cdot 374\) (374 не делится на 8). — Для \(n = 625\): \(625 \cdot 624\). Проверим \(624 / 8 = 78\). Подходит. 2. Если \(n-1\) делится на 125: это числа 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Проверим их на делимость \(n(n-1)\) на 8: — Для \(n = 376\): \(376 \cdot 375\). Проверим \(376 / 8 = 47\). Подходит. Проверка: \(625^2 = 390625\) (заканчивается на 625) \(376^2 = 141376\) (заканчивается на 376) Ответ: 376, 625. Задание 2. Подготовка к олимпиаде Условие: Всего 99999 задач. 1-й день — 5 задач, каждый следующий день — вдвое больше. Сколько дней уйдет на решение? Решение: Количество задач, решаемых в каждый день, представляет собой геометрическую прогрессию, где \(a_1 = 5\), а знаменатель \(q = 2\). Сумма задач за \(n\) дней вычисляется по формуле: \[S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\] Подставим значения: \[S_n = \frac{5(2^n - 1)}{2 - 1} = 5(2^n - 1)\] Нам нужно найти такое минимальное \(n\), при котором \(S_n \ge 99999\): \[5(2^n - 1) \ge 99999\] \[2^n - 1 \ge 19999,8\] \[2^n \ge 20000,8\] Вспомним степени двойки: \(2^{10} = 1024\) \(2^{11} = 2048\) \(2^{12} = 4096\) \(2^{13} = 8192\) \(2^{14} = 16384\) \(2^{15} = 32768\) Так как \(2^{14} < 20000,8\), а \(2^{15} > 20000,8\), то мистеру Фоксу понадобится 15 дней. Ответ: 15.