Решение задач 1-10

Ниже представлены решения задач с 1 по 10 в удобном для переписывания виде. Задача 1. Верное утверждение: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Задача 2. Заполните пропуски: Изображённые на рисунке прямоугольные треугольники подобны по двум углам (первый признак), так как каждый из них имеет прямой угол и угол \( \alpha \). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, следовательно \( \frac{12}{3} = \frac{8}{x} \). \( x = \frac{3 \cdot 8}{12} = 2 \). Задача 3. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника. Также \( BH^2 = AH \cdot HC \). 1) Найдем \( HC \): \[ 12^2 = 5 \cdot HC \implies 144 = 5 \cdot HC \implies HC = 28,8 \] 2) Из прямоугольного треугольника \( BHC \) по теореме Пифагора: \[ BC = \sqrt{BH^2 + HC^2} = \sqrt{12^2 + 28,8^2} = \sqrt{144 + 829,44} = \sqrt{973,44} = 31,2 \] Ответ: 31,2. Задача 4. Треугольники \( ABM \) и \( CDM \) подобны по двум углам (углы при вершине \( M \) вертикальные, а накрест лежащие углы при параллельных прямых равны). Пусть \( CM = x \), тогда \( AM = 25 - x \). Из подобия: \( \frac{AB}{DC} = \frac{AM}{CM} \) \[ \frac{20}{30} = \frac{25 - x}{x} \implies \frac{2}{3} = \frac{25 - x}{x} \] \[ 2x = 3(25 - x) \implies 2x = 75 - 3x \implies 5x = 75 \implies x = 15 \] Ответ: 15. Задача 5. Так как \( DE \parallel BC \), то \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) по двум углам. Из подобия: \( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \) Пусть \( BD = y \), тогда \( AB = AD + BD = 8 + y \). \[ \frac{8}{8 + y} = \frac{3}{9} \implies \frac{8}{8 + y} = \frac{1}{3} \] \[ 8 \cdot 3 = 8 + y \implies 24 = 8 + y \implies y = 16 \] Ответ: 16. Задача 6. Так как \( M \) и \( N \) — середины сторон, то \( MN \) — средняя линия. \( \triangle MNC \sim \triangle ABC \) с коэффициентом \( k = \frac{1}{2} \). Отношение площадей подобных треугольников равно \( k^2 = \frac{1}{4} \). Пусть \( S_{ABC} = S \), тогда \( S_{MNC} = \frac{1}{4}S \). Площадь трапеции \( S_{ANMB} = S - S_{MNC} = S - \frac{1}{4}S = \frac{3}{4}S \). \[ 126 = \frac{3}{4}S \implies S = \frac{126 \cdot 4}{3} = 42 \cdot 4 = 168 \] Ответ: 168. Задача 7. Аналогично задаче 5: \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \). \( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \implies \frac{8}{AB} = \frac{5}{9} \) \[ AB = \frac{8 \cdot 9}{5} = \frac{72}{5} = 14,4 \] \( BD = AB - AD = 14,4 - 8 = 6,4 \). Ответ: 6,4. Задача 8. \( \triangle BEC \sim \triangle DEA \) по двум углам (накрест лежащие при \( AD \parallel BC \)). Из подобия: \( \frac{BC}{AD} = \frac{BE}{DE} \) \[ \frac{2}{6} = \frac{BE}{9} \implies \frac{1}{3} = \frac{BE}{9} \implies BE = 3 \] \( BD = BE + DE = 3 + 9 = 12 \). Ответ: 12. Задача 9. \( \triangle BOC \sim \triangle DOA \) по двум углам. По условию \( AO : OC = 2 : 1 \). Из подобия: \( \frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA} \) \[ \frac{BC}{18} = \frac{1}{2} \implies BC = \frac{18}{2} = 9 \] Ответ: 9. Задача 10. Рассмотрим \( \triangle NKP \) и \( \triangle NMK \). У них угол \( N \) — общий, и \( \angle NKP = \angle NMK \) по условию. Значит, \( \triangle NKP \sim \triangle NMK \) по двум углам. Пусть \( PN = a \), тогда \( MP = 3a \), а вся сторона \( MN = 4a \). Из подобия: \( \frac{MK}{KP} = \frac{MN}{KN} \) и \( \frac{KN}{PN} = \frac{MN}{KN} \). 1) Из второй пропорции: \( KN^2 = PN \cdot MN = a \cdot 4a = 4a^2 \implies KN = 2a \). 2) Из первой пропорции: \( \frac{MK}{8} = \frac{4a}{2a} \implies \frac{MK}{8} = 2 \implies MK = 16 \). Ответ: 16.