Решение задач 1-7: Подробное объяснение

Ниже представлены решения задач с 1 по 7 в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задача 1. Решите уравнение: \[ \frac{1}{1 - x} = \frac{x}{x - 1} \] Решение: 1. Заметим, что \( 1 - x = -(x - 1) \). Перепишем уравнение: \[ \frac{1}{-(x - 1)} = \frac{x}{x - 1} \] 2. Умножим обе части на \( x - 1 \), при условии, что \( x \neq 1 \): \[ -1 = x \] 3. Проверка ОДЗ: \( -1 \neq 1 \), корень подходит. Ответ: -1. Задача 2. Решите уравнение: \[ 5x^4 - 17x^2 - 12 = 0 \] Решение: 1. Пусть \( x^2 = t \), где \( t \geq 0 \). Тогда уравнение примет вид: \[ 5t^2 - 17t - 12 = 0 \] 2. Найдем дискриминант: \[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 289 + 240 = 529 = 23^2 \] 3. Корни для \( t \): \[ t_1 = \frac{17 + 23}{10} = 4 \] \[ t_2 = \frac{17 - 23}{10} = -0,6 \] 4. Так как \( t \geq 0 \), подходит только \( t = 4 \). 5. Вернемся к \( x \): \[ x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2 \] Ответ: -2; 2. Задача 3. Решите уравнение: \[ \left(\frac{2x - 1}{x}\right)^2 - \frac{6(2x - 1)}{x} + 5 = 0 \] Решение: 1. Пусть \( \frac{2x - 1}{x} = t \). Уравнение примет вид: \[ t^2 - 6t + 5 = 0 \] 2. По теореме Виета: \( t_1 = 1, t_2 = 5 \). 3. Обратная замена: а) \( \frac{2x - 1}{x} = 1 \Rightarrow 2x - 1 = x \Rightarrow x_1 = 1 \) б) \( \frac{2x - 1}{x} = 5 \Rightarrow 2x - 1 = 5x \Rightarrow -3x = 1 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{3} \) 4. Наибольший корень: 1. Ответ: 1. Задача 4. Решите уравнение: \[ (x^2 - 2x)(x^2 - 2x - 7) = 8 \] Решение: 1. Пусть \( x^2 - 2x = t \). Уравнение примет вид: \[ t(t - 7) = 8 \Rightarrow t^2 - 7t - 8 = 0 \] 2. Корни по теореме Виета: \( t_1 = 8, t_2 = -1 \). 3. Обратная замена: а) \( x^2 - 2x = 8 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -2 \) б) \( x^2 - 2x = -1 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x_3 = 1 \) 4. Наибольший корень: 4. Ответ: 4. Задача 5. Найдите корни уравнения: \[ \frac{2x^2 - 5x + 2}{x - 2} = 4x + 1 \] Решение: 1. Разложим числитель на множители: \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \). \( D = 25 - 16 = 9 \). Корни \( x = 2 \) и \( x = 0,5 \). Значит, \( 2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 2)(x - 0,5) = (x - 2)(2x - 1) \). 2. Уравнение примет вид: \[ \frac{(x - 2)(2x - 1)}{x - 2} = 4x + 1 \] 3. При условии \( x \neq 2 \), сокращаем дробь: \[ 2x - 1 = 4x + 1 \Rightarrow -2x = 2 \Rightarrow x = -1 \] 4. Проверка ОДЗ: \( -1 \neq 2 \), корень подходит. Ответ: -1. Задача 6. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 + x - 2}{x + 2} = 0 \] Решение: 1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] \[ x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \] 2. Решим квадратное уравнение в числителе по теореме Виета: \[ x_1 = 1, x_2 = -2 \] 3. С учетом ОДЗ (\( x \neq -2 \)), остается только один корень: \( x = 1 \). Ответ: 1. Задача 7. Решите уравнение: \[ \frac{(2k + 1)(k - 3)}{k + 11} = \frac{2k^2 - 5k - 3}{3 - k} \] Решение: 1. Разложим числитель правой части на множители: \( 2k^2 - 5k - 3 = (2k + 1)(k - 3) \). 2. Уравнение примет вид: \[ \frac{(2k + 1)(k - 3)}{k + 11} = \frac{(2k + 1)(k - 3)}{-(k - 3)} \] 3. ОДЗ: \( k \neq -11 \) и \( k \neq 3 \). 4. Сократим правую часть на \( (k - 3) \): \[ \frac{(2k + 1)(k - 3)}{k + 11} = -(2k + 1) \] 5. Перенесем всё в одну сторону и вынесем общий множитель: \[ (2k + 1) \left( \frac{k - 3}{k + 11} + 1 \right) = 0 \] 6. Либо \( 2k + 1 = 0 \Rightarrow k_1 = -0,5 \). 7. Либо \( \frac{k - 3 + k + 11}{k + 11} = 0 \Rightarrow 2k + 8 = 0 \Rightarrow k_2 = -4 \). 8. Оба корня подходят по ОДЗ. Ответ: -4; -0,5.