Решение задач по фото 1-7, Задачи 8 и 9

Ниже представлены решения задач с фотографий в порядке их следования. Задача 8. Биквадратное уравнение Решите уравнение \(\frac{x^4 + 3}{2} = x^2 + 1\). 1. Умножим обе части на 2: \[x^4 + 3 = 2x^2 + 2\] 2. Перенесем всё в левую часть: \[x^4 - 2x^2 + 1 = 0\] 3. Заметим формулу квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): \[(x^2 - 1)^2 = 0\] 4. Отсюда: \[x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1\] Ответы на вопросы: Сколько различных корней имеет уравнение? 2 Введите рациональные корни уравнения: 1; -1 Задача 9. Произведение всех корней Найдите произведение всех корней уравнения \(x^2 - 7|x| + 6 = 0\). 1. Так как \(x^2 = |x|^2\), сделаем замену \(t = |x|\), где \(t \ge 0\): \[t^2 - 7t + 6 = 0\] 2. По теореме Виета: \(t_1 = 1, t_2 = 6\). Оба значения подходят (\(>0\)). 3. Вернемся к замене: \(|x| = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1\) \(|x| = 6 \Rightarrow x_3 = 6, x_4 = -6\) 4. Найдем произведение: \[1 \cdot (-1) \cdot 6 \cdot (-6) = 36\] Ответ: 36 Задача 10. Похожие уравнения 1. Уравнение \(x^4 + 13x^2 + 42 = 0\). Пусть \(x^2 = t\), тогда \(t^2 + 13t + 42 = 0\). Корни по теореме Виета: \(t_1 = -6, t_2 = -7\). Так как \(x^2\) не может быть отрицательным, корней нет. Количество корней: 0. 2. Уравнение \(x^4 - 13x^2 + 42 = 0\). Пусть \(x^2 = t\), тогда \(t^2 - 13t + 42 = 0\). Корни: \(t_1 = 6, t_2 = 7\). Тогда \(x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}\) и \(x^2 = 7 \Rightarrow x = \pm\sqrt{7}\). Количество корней: 4. Задача 11. Замена модуля Решите уравнение \(x^2 - 3|x| + 2 = 0\). 1. Замена \(|x| = t, t \ge 0\): \[t^2 - 3t + 2 = 0\] 2. Корни: \(t_1 = 1, t_2 = 2\). 3. Обратная замена: \(|x| = 1 \Rightarrow x = 1, x = -1\) \(|x| = 2 \Rightarrow x = 2, x = -2\) Ответ: -2; -1; 1; 2 Задача 12. Биквадратное уравнение Решите уравнение \(x^2(7x^2 - 12) = 64\). 1. Раскроем скобки: \(7x^4 - 12x^2 - 64 = 0\). 2. Замена \(x^2 = t, t \ge 0\): \[7t^2 - 12t - 64 = 0\] 3. Дискриминант: \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-64) = 144 + 1792 = 1936 = 44^2\). 4. Корни \(t\): \(t_1 = \frac{12 + 44}{14} = \frac{56}{14} = 4\) \(t_2 = \frac{12 - 44}{14} = -\frac{32}{14}\) (не подходит, так как \(t < 0\)) 5. Обратная замена: \(x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2\). Ответы: Сколько корней? 2 Рациональные корни: 2; -2 Задача 13. Дробно-рациональное уравнение Решите уравнение \(\frac{x+2}{x-1} + \frac{x}{x+1} = \frac{6}{x^2-1}\). 1. ОДЗ: \(x \neq 1, x \neq -1\). 2. Общий знаменатель \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\). Умножим на него: \[(x+2)(x+1) + x(x-1) = 6\] \[x^2 + 3x + 2 + x^2 - x = 6\] \[2x^2 + 2x - 4 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0\] 3. Корни: \(x_1 = 1\) (не входит в ОДЗ), \(x_2 = -2\). Ответ: -2 Задача 14. Дробно-рациональное уравнение Решите уравнение \(\frac{z+8}{z-3} - \frac{7}{z+3} = \frac{51-z}{z^2-9}\). 1. ОДЗ: \(z \neq 3, z \neq -3\). 2. Умножим на \((z-3)(z+3)\): \[(z+8)(z+3) - 7(z-3) = 51 - z\] \[z^2 + 11z + 24 - 7z + 21 = 51 - z\] \[z^2 + 4z + 45 = 51 - z\] \[z^2 + 5z - 6 = 0\] 3. Корни по теореме Виета: \(z_1 = -6, z_2 = 1\). Оба входят в ОДЗ. 4. Сумма корней: \(-6 + 1 = -5\). Ответ: -5