Решение задачи о параллелограмме и подобии треугольников

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(E \in CD\), \(AE \cap BC = F\). а) \(DE = 8\) см, \(EC = 4\) см, \(BC = 7\) см, \(AE = 10\) см. Найти: \(EF\), \(FC\). б) \(AB = 8\) см, \(AD = 5\) см, \(CF = 2\) см. Найти: \(DE\), \(EC\). Решение: Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(FCE\). 1. \(\angle AED = \angle FEC\) как вертикальные. 2. \(\angle DAE = \angle CFE\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) (так как \(ABCD\) — параллелограмм) и секущей \(AF\). Следовательно, \(\triangle ADE \sim \triangle FCE\) по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон: \[ \frac{AD}{FC} = \frac{DE}{EC} = \frac{AE}{EF} \] Решим пункт а): 1. По свойству параллелограмма \(AD = BC = 7\) см. 2. Используем отношение \(\frac{DE}{EC} = \frac{AE}{EF}\): \[ \frac{8}{4} = \frac{10}{EF} \] \[ 2 = \frac{10}{EF} \implies EF = \frac{10}{2} = 5 \text{ (см)} \] 3. Используем отношение \(\frac{AD}{FC} = \frac{DE}{EC}\): \[ \frac{7}{FC} = \frac{8}{4} \] \[ \frac{7}{FC} = 2 \implies FC = \frac{7}{2} = 3,5 \text{ (см)} \] Решим пункт б): 1. По свойству параллелограмма \(AD = 5\) см, \(CD = AB = 8\) см. 2. Пусть \(EC = x\), тогда \(DE = CD - EC = 8 - x\). 3. Используем отношение \(\frac{AD}{FC} = \frac{DE}{EC}\): \[ \frac{5}{2} = \frac{8 - x}{x} \] \[ 5x = 2(8 - x) \] \[ 5x = 16 - 2x \] \[ 7x = 16 \] \[ x = \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7} \text{ (см)} \] Значит, \(EC = 2\frac{2}{7}\) см. 4. Найдем \(DE\): \[ DE = 8 - 2\frac{2}{7} = 5\frac{5}{7} \text{ (см)} \] Ответ: а) \(EF = 5\) см, \(FC = 3,5\) см; б) \(DE = 5\frac{5}{7}\) см, \(EC = 2\frac{2}{7}\) см.