Решение неравенств дискриминантом и заменой переменной (Вариант 2)

Контрольная работа. Вариант — 2. Задание 1. Решите неравенство: а) \( (\frac{1}{25})^{2-x} < 125^{x+1} \) Приведем обе части к основанию 5: \( (5^{-2})^{2-x} < (5^3)^{x+1} \) \( 5^{-4+2x} < 5^{3x+3} \) Так как основание \( 5 > 1 \), то знак неравенства сохраняется: \( -4 + 2x < 3x + 3 \) \( 2x - 3x < 3 + 4 \) \( -x < 7 \) \( x > -7 \) Ответ: \( x \in (-7; +\infty) \) б) \( (\frac{1}{6})^{4x-7} > 6^{x-3} \) Приведем к основанию 6: \( (6^{-1})^{4x-7} > 6^{x-3} \) \( 6^{-4x+7} > 6^{x-3} \) Так как \( 6 > 1 \): \( -4x + 7 > x - 3 \) \( -5x > -10 \) \( x < 2 \) Ответ: \( x \in (-\infty; 2) \) Задание 2. Решите неравенство: а) \( 3^x \cdot 27 \le 81 \) \( 3^x \cdot 3^3 \le 3^4 \) \( 3^{x+3} \le 3^4 \) \( x + 3 \le 4 \) \( x \le 1 \) Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \) б) \( 9 \cdot 81^{3-2x} \ge 27^{2-2x} \) Приведем к основанию 3: \( 3^2 \cdot (3^4)^{3-2x} \ge (3^3)^{2-2x} \) \( 3^2 \cdot 3^{12-8x} \ge 3^{6-6x} \) \( 3^{14-8x} \ge 3^{6-6x} \) \( 14 - 8x \ge 6 - 6x \) \( -2x \ge -8 \) \( x \le 4 \) Ответ: \( x \in (-\infty; 4] \) Задание 3. Решите уравнение: \( 6^{x+1} + 35 \cdot 6^{x-1} = 71 \) Вынесем \( 6^{x-1} \) за скобки: \( 6^{x-1} \cdot (6^2 + 35) = 71 \) \( 6^{x-1} \cdot (36 + 35) = 71 \) \( 6^{x-1} \cdot 71 = 71 \) \( 6^{x-1} = 1 \) \( 6^{x-1} = 6^0 \) \( x - 1 = 0 \) \( x = 1 \) Ответ: 1 Задание 4. Решите уравнение (с помощью замены переменной и дискриминанта): \( 3^{2x+1} - 8 \cdot 3^x - 3 = 0 \) Разложим первую степень: \( 3 \cdot (3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 3 = 0 \) Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). Получаем квадратное уравнение: \( 3t^2 - 8t - 3 = 0 \) Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \] Корни уравнения: \[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \] Так как \( t > 0 \), корень \( t_2 = -1/3 \) не подходит. Вернемся к замене: \( 3^x = 3 \) \( x = 1 \) Ответ: 1 Задание 5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 3 \\ 5^{x+3y} = \frac{1}{5} \end{cases} \] Преобразуем второе уравнение: \( 5^{x+3y} = 5^{-1} \) \( x + 3y = -1 \) Теперь имеем систему линейных уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 3 \\ x + 3y = -1 \end{cases} \] Вычтем из второго уравнения первое: \( (x + 3y) - (x + y) = -1 - 3 \) \( 2y = -4 \) \( y = -2 \) Подставим \( y \) в первое уравнение: \( x + (-2) = 3 \) \( x = 5 \) Ответ: (5; -2)