Решение неравенств: Вариант 1

Контрольная работа Вариант – 1 Задание 1. Решите неравенство: а) \( 32^{2x+3} < 0,25 \) Приведем обе части к основанию 2: \( (2^5)^{2x+3} < \frac{1}{4} \) \( 2^{5(2x+3)} < 2^{-2} \) Так как основание \( 2 > 1 \), то: \( 5(2x+3) < -2 \) \( 10x + 15 < -2 \) \( 10x < -17 \) \( x < -1,7 \) Ответ: \( x \in (-\infty; -1,7) \) б) \( (\frac{1}{4})^{2x-6} \geq 4^{5x-8} \) Приведем к основанию 4: \( (4^{-1})^{2x-6} \geq 4^{5x-8} \) \( 4^{-2x+6} \geq 4^{5x-8} \) Так как основание \( 4 > 1 \), то: \( -2x + 6 \geq 5x - 8 \) \( -7x \geq -14 \) \( x \leq 2 \) (при делении на отрицательное число знак меняется) Ответ: \( x \in (-\infty; 2] \) Задание 2. Решите неравенство: а) \( 2^x \cdot 16 < 256 \) \( 2^x \cdot 2^4 < 2^8 \) \( 2^{x+4} < 2^8 \) \( x + 4 < 8 \) \( x < 4 \) Ответ: \( x \in (-\infty; 4) \) б) \( 16 \cdot 8^{2-3x} \leq 64^{2x-1} \) Приведем к основанию 2: \( 2^4 \cdot (2^3)^{2-3x} \leq (2^6)^{2x-1} \) \( 2^4 \cdot 2^{6-9x} \leq 2^{12x-6} \) \( 2^{10-9x} \leq 2^{12x-6} \) \( 10 - 9x \leq 12x - 6 \) \( -21x \leq -16 \) \( x \geq \frac{16}{21} \) Ответ: \( x \in [\frac{16}{21}; +\infty) \) Задание 3. Решите уравнение: \( 10 \cdot 5^{x-1} + 5^{x+1} = 7 \) Вынесем \( 5^{x-1} \) за скобки: \( 5^{x-1} \cdot (10 + 5^2) = 7 \) \( 5^{x-1} \cdot (10 + 25) = 7 \) \( 5^{x-1} \cdot 35 = 7 \) \( 5^{x-1} = \frac{7}{35} \) \( 5^{x-1} = \frac{1}{5} \) \( 5^{x-1} = 5^{-1} \) \( x - 1 = -1 \) \( x = 0 \) Ответ: 0 Задание 4. Решите уравнение (методом замены переменной): \( 2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 = 0 \) Преобразуем первое слагаемое: \( 2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 2 = 0 \) Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). Получаем квадратное уравнение: \( 2t^2 - 5t + 2 = 0 \) Найдем дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \) \( \sqrt{D} = 3 \) Находим корни \( t \): \( t_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \) \( t_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5 \) Сделаем обратную замену: 1) \( 2^x = 2 \Rightarrow x_1 = 1 \) 2) \( 2^x = 0,5 \Rightarrow 2^x = 2^{-1} \Rightarrow x_2 = -1 \) Ответ: -1; 1 Задание 5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - y = 8 \\ 2^{x-3y} = 16 \end{cases} \] Из второго уравнения: \( 2^{x-3y} = 2^4 \Rightarrow x - 3y = 4 \) Система принимает вид: \[ \begin{cases} x - y = 8 \\ x - 3y = 4 \end{cases} \] Вычтем из первого уравнения второе: \( (x - y) - (x - 3y) = 8 - 4 \) \( 2y = 4 \Rightarrow y = 2 \) Подставим \( y \) в первое уравнение: \( x - 2 = 8 \Rightarrow x = 10 \) Ответ: (10; 2)