Решение задачи на эквивалентное сопротивление и общий ток в цепи

Дано: \(r_1 = r_2 = r_3 = 1 \text{ Ом}\) \(r_4 = r_5 = r_6 = 1,5 \text{ Ом}\) \(r_7 = r_8 = r_9 = 2 \text{ Ом}\) \(E = 70 \text{ В}\) Найти: \(R_{\text{экв}}\) — эквивалентное сопротивление всей цепи. \(I\) — общий ток в цепи. Решение: 1. Проанализируем правую часть схемы. Резисторы \(r_3\) и \(r_5\) соединены последовательно. Их общее сопротивление \(r_{35}\): \[r_{35} = r_3 + r_5 = 1 + 1,5 = 2,5 \text{ Ом}\] 2. Резисторы \(r_7\) и \(r_6\) также соединены последовательно. Их общее сопротивление \(r_{76}\): \[r_{76} = r_7 + r_6 = 2 + 1,5 = 3,5 \text{ Ом}\] 3. Теперь рассмотрим узел, где сходятся \(r_{35}\), \(r_{76}\) и \(r_4\). Заметим, что \(r_{35}\) и \(r_{76}\) подключены параллельно к ветви с \(r_4\). Однако, схема представляет собой мостик. Для упрощения найдем эквивалентное сопротивление правой части (от узлов после \(r_1\) и \(r_2\)). 4. Преобразуем треугольник резисторов \(r_8, r_9, (r_4 + \text{правая часть})\) или воспользуемся методом свертки. Заметим, что \(r_8\) и \(r_9\) соединены последовательно между собой в центральной ветви, если смотреть относительно входных узлов. Но они разделены точкой подключения \(r_4\). 5. Рассчитаем сопротивление правой части относительно узлов, к которым подключены \(r_8\) и \(r_9\). Верхняя правая ветвь: \(R_{\text{в}} = r_3 + r_5 = 2,5 \text{ Ом}\). Нижняя правая ветвь: \(R_{\text{н}} = r_7 + r_6 = 3,5 \text{ Ом}\). Эти две ветви сходятся в одной точке, к которой подключен \(r_4\). Сопротивление этой части: \[R_{\text{правое}} = \frac{R_{\text{в}} \cdot R_{\text{н}}}{R_{\text{в}} + R_{\text{н}}} + r_4 = \frac{2,5 \cdot 3,5}{2,5 + 3,5} + 1,5 = \frac{8,75}{6} + 1,5 \approx 1,458 + 1,5 = 2,958 \text{ Ом}\] 6. Теперь это сопротивление \(R_{\text{правое}}\) подключено параллельно последовательному соединению \(r_8\) и \(r_9\). \[R_{\text{центр}} = \frac{(r_8 + r_9) \cdot R_{\text{правое}}}{(r_8 + r_9) + R_{\text{правое}}} = \frac{4 \cdot 2,958}{4 + 2,958} = \frac{11,832}{6,958} \approx 1,7 \text{ Ом}\] 7. Общее сопротивление цепи \(R_{\text{экв}}\) включает в себя \(r_1\), \(r_2\) и \(R_{\text{центр}}\), соединенные последовательно: \[R_{\text{экв}} = r_1 + r_2 + R_{\text{центр}} = 1 + 1 + 1,7 = 3,7 \text{ Ом}\] 8. Вычислим общий ток по закону Ома: \[I = \frac{E}{R_{\text{экв}}} = \frac{70}{3,7} \approx 18,92 \text{ А}\] Ответ: \(R_{\text{экв}} \approx 3,7 \text{ Ом}\), \(I \approx 18,92 \text{ А}\).