Решение системы уравнений методом Гаусса

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы: \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 & 4 & | & -5 \\ 1 & 0 & -2 & 3 & | & -4 \\ 3 & 2 & 0 & -5 & | & 12 \\ 4 & 3 & -5 & 0 & | & 5 \end{pmatrix} \] Для удобства поменяем первую и вторую строки местами, чтобы в левом верхнем углу была единица: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 & | & -4 \\ 0 & 1 & -3 & 4 & | & -5 \\ 3 & 2 & 0 & -5 & | & 12 \\ 4 & 3 & -5 & 0 & | & 5 \end{pmatrix} \] Теперь обнулим элементы в первом столбце под главной диагональю. Для этого из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3, а из четвертой строки вычтем первую, умноженную на 4: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 & | & -4 \\ 0 & 1 & -3 & 4 & | & -5 \\ 0 & 2 & 6 & -14 & | & 24 \\ 0 & 3 & 3 & -12 & | & 21 \end{pmatrix} \] Далее обнулим элементы во втором столбце под главной диагональю. Из третьей строки вычтем вторую, умноженную на 2, а из четвертой строки вычтем вторую, умноженную на 3: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 & | & -4 \\ 0 & 1 & -3 & 4 & | & -5 \\ 0 & 0 & 12 & -22 & | & 34 \\ 0 & 0 & 12 & -24 & | & 36 \end{pmatrix} \] Теперь из четвертой строки вычтем третью: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 & | & -4 \\ 0 & 1 & -3 & 4 & | & -5 \\ 0 & 0 & 12 & -22 & | & 34 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 2 \end{pmatrix} \] Матрица приведена к ступенчатому виду. Выполним обратный ход. Из четвертой строки находим \(x_4\): \[ -2x_4 = 2 \implies x_4 = -1 \] Из третьей строки находим \(x_3\): \[ 12x_3 - 22x_4 = 34 \] \[ 12x_3 - 22(-1) = 34 \] \[ 12x_3 + 22 = 34 \implies 12x_3 = 12 \implies x_3 = 1 \] Из второй строки находим \(x_2\): \[ x_2 - 3x_3 + 4x_4 = -5 \] \[ x_2 - 3(1) + 4(-1) = -5 \] \[ x_2 - 3 - 4 = -5 \implies x_2 - 7 = -5 \implies x_2 = 2 \] Из первой строки находим \(x_1\): \[ x_1 - 2x_3 + 3x_4 = -4 \] \[ x_1 - 2(1) + 3(-1) = -4 \] \[ x_1 - 2 - 3 = -4 \implies x_1 - 5 = -4 \implies x_1 = 1 \] Ответ: \(x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 1, x_4 = -1\).