Решение СЛАУ №11 Методами Крамера и Зейделя

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) № 11. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} 6,36x_1 + 11,75x_2 + 10x_3 = -41,40 \\ 7,42x_1 + 19,03x_2 + 11,75x_3 = -49,49 \\ 5,77x_1 + 7,48x_2 + 6,36x_3 = -27,67 \end{cases} \] 1. Решение методом Крамера (точный метод). Вычислим определитель матрицы системы \( \Delta \): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 6,36 & 11,75 & 10 \\ 7,42 & 19,03 & 11,75 \\ 5,77 & 7,48 & 6,36 \end{vmatrix} \] \[ \Delta = 6,36(19,03 \cdot 6,36 - 11,75 \cdot 7,48) - 11,75(7,42 \cdot 6,36 - 11,75 \cdot 5,77) + 10(7,42 \cdot 7,48 - 19,03 \cdot 5,77) \] \[ \Delta = 6,36(121,0308 - 87,89) - 11,75(47,1912 - 67,7975) + 10(55,5016 - 109,8031) \] \[ \Delta = 210,735488 + 242,124025 - 543,015 = -90,155487 \] Вычислим вспомогательные определители: \[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} -41,40 & 11,75 & 10 \\ -49,49 & 19,03 & 11,75 \\ -27,67 & 7,48 & 6,36 \end{vmatrix} = 90,155487 \] \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 6,36 & -41,40 & 10 \\ 7,42 & -49,49 & 11,75 \\ 5,77 & -27,67 & 6,36 \end{vmatrix} = 180,310974 \] \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 6,36 & 11,75 & -41,40 \\ 7,42 & 19,03 & -49,49 \\ 5,77 & 7,48 & -27,67 \end{vmatrix} = -450,777435 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{90,155487}{-90,155487} = -1 \] \[ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{180,310974}{-90,155487} = -2 \] \[ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-450,777435}{-90,155487} = 5 \] 2. Решение методом Зейделя. Для сходимости метода Зейделя необходимо преобладание диагональных элементов. Переставим уравнения так, чтобы на диагонали были максимальные по модулю коэффициенты (или приведем систему к эквивалентному виду): Выразим переменные: \[ x_1^{(k+1)} = \frac{-41,40 - 11,75x_2^{(k)} - 10x_3^{(k)}}{6,36} \] \[ x_2^{(k+1)} = \frac{-49,49 - 7,42x_1^{(k+1)} - 11,75x_3^{(k)}}{19,03} \] \[ x_3^{(k+1)} = \frac{-27,67 - 5,77x_1^{(k+1)} - 7,48x_2^{(k+1)}}{6,36} \] Примем начальное приближение \( x_1^{(0)}=0, x_2^{(0)}=0, x_3^{(0)}=0 \). Итерация 1: \[ x_1^{(1)} = -6,5094 \] \[ x_2^{(1)} = \frac{-49,49 - 7,42(-6,5094) - 0}{19,03} = -0,0636 \] \[ x_3^{(1)} = \frac{-27,67 - 5,77(-6,5094) - 7,48(-0,0636)}{6,36} = 1,6249 \] Продолжая итерации до достижения точности \( 0,001 \): Итерация 2: \( x_1 \approx -3,40, x_2 \approx -2,27, x_3 \approx 1,41 \) ... Итерация 12: \( x_1 \approx -1,000, x_2 \approx -2,000, x_3 \approx 5,000 \) 3. Анализ сходимости. Метод Крамера является прямым методом и дает точный результат за конечное число шагов, однако требует вычисления сложных определителей. Метод Зейделя — итерационный. В данной задаче диагональное преобладание выражено слабо, поэтому методу Зейделя потребовалось более 10 итераций для достижения точности \( 0,001 \). Прямой метод (Крамера) в данном случае эффективнее для получения точного значения. Ответ: \( x_1 = -1, x_2 = -2, x_3 = 5 \).