Решение системы линейных уравнений по правилам Кирхгофа

Для решения данной задачи воспользуемся правилами Кирхгофа. Согласно схеме, у нас есть три параллельные ветви с источниками ЭДС и резисторами, которые сходятся в общих узлах и подключаются к внешней нагрузке \( R \). Дано: \( \mathcal{E}_1 = -6 \, \text{В} \) \( \mathcal{E}_2 = 5 \, \text{В} \) \( \mathcal{E}_3 = 8 \, \text{В} \) \( R_1 = 2 \, \text{Ом} \) \( R_2 = 1 \, \text{Ом} \) \( R_3 = 1 \, \text{Ом} \) \( R = 1 \, \text{Ом} \) (согласно подписи на схеме "1 Ом" у верхнего резистора) Найти: \( I_1, I_2, I_3, I \) — ? Решение: 1. Согласно первому правилу Кирхгофа для верхнего узла, сумма токов, входящих в узел, равна току, выходящему из него: \[ I_1 + I_2 + I_3 = I \] 2. Применим метод узловых потенциалов. Пусть потенциал нижнего узла \( \phi_B = 0 \), а потенциал верхнего узла (перед амперметром общего тока) равен \( \phi_A \). Тогда напряжение на внешней нагрузке \( U = I \cdot R \). Так как амперметры и вольтметр считаем идеальными, падением напряжения на них пренебрегаем. Потенциал точки после резистора \( R \) равен 0, значит \( \phi_A = I \cdot R \). 3. Запишем выражения для токов в каждой ветви по закону Ома для полной цепи: \[ I_1 = \frac{\mathcal{E}_1 - \phi_A}{R_1} = \frac{\mathcal{E}_1 - I \cdot R}{R_1} \] \[ I_2 = \frac{\mathcal{E}_2 - \phi_A}{R_2} = \frac{\mathcal{E}_2 - I \cdot R}{R_2} \] \[ I_3 = \frac{\mathcal{E}_3 - \phi_A}{R_3} = \frac{\mathcal{E}_3 - I \cdot R}{R_3} \] 4. Подставим эти выражения в уравнение первого правила Кирхгофа: \[ \frac{\mathcal{E}_1 - I \cdot R}{R_1} + \frac{\mathcal{E}_2 - I \cdot R}{R_2} + \frac{\mathcal{E}_3 - I \cdot R}{R_3} = I \] 5. Подставим числовые значения: \[ \frac{-6 - I \cdot 1}{2} + \frac{5 - I \cdot 1}{1} + \frac{8 - I \cdot 1}{1} = I \] \[ -3 - 0,5I + 5 - I + 8 - I = I \] \[ 10 - 2,5I = I \] \[ 10 = 3,5I \] \[ I = \frac{10}{3,5} = \frac{100}{35} = \frac{20}{7} \approx 2,86 \, \text{А} \] 6. Теперь найдем токи в ветвях: \[ I_1 = \frac{-6 - 2,86}{2} = \frac{-8,86}{2} = -4,43 \, \text{А} \] (Знак минус означает, что ток течет в противоположную сторону, указанную на схеме). \[ I_2 = \frac{5 - 2,86}{1} = 2,14 \, \text{А} \] \[ I_3 = \frac{8 - 2,86}{1} = 5,14 \, \text{А} \] 7. Проверка: \[ I_1 + I_2 + I_3 = -4,43 + 2,14 + 5,14 = 2,85 \, \text{А} \] (Небольшое расхождение в 0,01 вызвано округлением, \( 2,85 \approx 2,86 \)). Ответ: \( I \approx 2,86 \, \text{А} \) \( I_1 \approx -4,43 \, \text{А} \) \( I_2 \approx 2,14 \, \text{А} \) \( I_3 \approx 5,14 \, \text{А} \)