Решение задач с 1 по 8 по фотографии

Ниже представлены решения задач с первой по седьмую (восьмая задача была решена ранее). Все решения оформлены для удобного переписывания в тетрадь. Задача 1. Первый рабочий Пусть \(x\) — количество деталей, которые делает в час второй рабочий. Тогда первый рабочий делает \(x + 10\) деталей в час. Время второго рабочего на заказ: \(\frac{60}{x}\) ч. Время первого рабочего на заказ: \(\frac{60}{x + 10}\) ч. По условию первый рабочий справляется на 3 часа быстрее: \[ \frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = 3 \] Разделим обе части на 3: \[ \frac{20}{x} - \frac{20}{x + 10} = 1 \] \[ \frac{20(x + 10) - 20x}{x(x + 10)} = 1 \] \[ 20x + 200 - 20x = x^2 + 10x \] \[ x^2 + 10x - 200 = 0 \] По теореме Виета: \(x_1 = 10\), \(x_2 = -20\) (не подходит). Ответ: 10 Задача 2. Лодка и плот Пусть \(v\) — скорость течения реки (она же скорость плота). Собственная скорость лодки \(8\) км/ч. Скорость лодки по течению: \(8 + v\). Скорость лодки против течения: \(8 - v\). Время лодки: \(\frac{15}{8 + v} + \frac{6}{8 - v}\). Время плота на 5 км: \(\frac{5}{v}\). Уравнение: \[ \frac{15}{8 + v} + \frac{6}{8 - v} = \frac{5}{v} \] \[ \frac{15(8 - v) + 6(8 + v)}{64 - v^2} = \frac{5}{v} \] \[ \frac{120 - 15v + 48 + 6v}{64 - v^2} = \frac{5}{v} \] \[ \frac{168 - 9v}{64 - v^2} = \frac{5}{v} \] \[ 168v - 9v^2 = 320 - 5v^2 \] \[ 4v^2 - 168v + 320 = 0 \] \[ v^2 - 42v + 80 = 0 \] Корни: \(v_1 = 2\), \(v_2 = 40\) (не подходит, так как \(v < 8\)). Ответ: 2 Задача 3. Корабль "Фокс" Пусть \(v\) — скорость течения. Скорость по течению: \(21 + v\), против: \(21 - v\). Общее время в пути без остановки: \(31 - 3 = 28\) часов. \[ \frac{270}{21 + v} + \frac{270}{21 - v} = 28 \] \[ 270 \cdot \left( \frac{21 - v + 21 + v}{441 - v^2} \right) = 28 \] \[ \frac{270 \cdot 42}{441 - v^2} = 28 \] \[ \frac{11340}{441 - v^2} = 28 \] \[ 441 - v^2 = 405 \] \[ v^2 = 36 \Rightarrow v = 6 \] Ответ: 6 Задача 4. Афродита Марковна Пусть \(x\) — кустов в день по плану. Дней по плану: \(\frac{320}{x}\). Фактически: \(x + 8\) кустов в день. Дней фактически: \(\frac{320}{x + 8}\). \[ \frac{320}{x} - \frac{320}{x + 8} = 2 \] \[ \frac{160}{x} - \frac{160}{x + 8} = 1 \] \[ 160(x + 8) - 160x = x(x + 8) \] \[ 1280 = x^2 + 8x \] \[ x^2 + 8x - 1280 = 0 \] \(D = 64 + 5120 = 5184 = 72^2\). \(x = \frac{-8 + 72}{2} = 32\). Ответ: 32 Задача 5. Насосы Пусть \(x\) — производительность второго насоса (л/мин). Тогда первого: \(x - 15\). \[ \frac{100}{x - 15} - \frac{100}{x} = 6 \] \[ \frac{100x - 100x + 1500}{x(x - 15)} = 6 \] \[ 1500 = 6x^2 - 90x \] \[ x^2 - 15x - 250 = 0 \] По теореме Виета: \(x_1 = 25\), \(x_2 = -10\). Ответ: 25 Задача 6. Моторная лодка Пусть \(v\) — собственная скорость лодки. Скорость течения \(3\) км/ч. Время против течения: \(\frac{35}{v - 3}\). Время по течению: \(\frac{35}{v + 3}\). Разница \(40\) мин = \(\frac{2}{3}\) часа. \[ \frac{35}{v - 3} - \frac{35}{v + 3} = \frac{2}{3} \] \[ 35 \cdot \frac{v + 3 - (v - 3)}{v^2 - 9} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{35 \cdot 6}{v^2 - 9} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{210}{v^2 - 9} = \frac{2}{3} \] \[ 2v^2 - 18 = 630 \Rightarrow 2v^2 = 648 \Rightarrow v^2 = 324 \Rightarrow v = 18 \] Ответ: 18 Задача 7. Мастер и ученик Пусть \(x\) — деталей в час делает ученик. Тогда мастер делает \(x + 4\). \[ \frac{252}{x} - \frac{504}{x + 4} = 12 \] Разделим на 12: \[ \frac{21}{x} - \frac{42}{x + 4} = 1 \] \[ 21(x + 4) - 42x = x(x + 4) \] \[ 21x + 84 - 42x = x^2 + 4x \] \[ x^2 + 25x - 84 = 0 \] \(D = 625 + 336 = 961 = 31^2\). \(x = \frac{-25 + 31}{2} = 3\). Ответ: 3