Решение задачи по технической механике: Расчет жесткозащемленной балки

Задача по технической механике: Расчет жесткозащемленной балки. Дано: \(F = 6 \, \text{кН}\) \(q = 2 \, \text{кН/м}\) \(M = 12 \, \text{кН}\cdot\text{м}\) Длины участков: \(AB = 1 \, \text{м}\), \(BC = 2 \, \text{м}\), \(CD = 5 \, \text{м}\). Решение: Для консольной балки (с жесткой заделкой) расчет удобнее вести со свободного конца (справа налево), тогда не требуется предварительно находить реакции в заделке. Направим ось \(z\) от точки \(D\) влево. 1. Определение поперечных сил \(Q_y\): Участок \(DC\) (\(0 \le z_1 \le 5 \, \text{м}\)): \[Q_y(z_1) = q \cdot z_1\] При \(z_1 = 0\) (точка \(D\)): \(Q_y = 0\) При \(z_1 = 5\) (точка \(C\)): \(Q_y = 2 \cdot 5 = 10 \, \text{кН}\) Участок \(CB\) (\(5 \le z_2 \le 7 \, \text{м}\)): На этом участке нагрузка \(q\) уже полностью учтена, новых вертикальных сил нет. \[Q_y(z_2) = q \cdot 5 = 10 \, \text{кН}\] Участок \(BA\) (\(7 \le z_3 \le 8 \, \text{м}\)): Добавляется сила \(F\). \[Q_y(z_3) = q \cdot 5 + F = 10 + 6 = 16 \, \text{кН}\] 2. Определение изгибающих моментов \(M_x\): (Считаем момент положительным, если он растягивает нижние волокна балки. В данном случае все нагрузки давят вниз, растягивая верхние волокна, поэтому значения будут отрицательными). Участок \(DC\) (\(0 \le z_1 \le 5 \, \text{м}\)): \[M_x(z_1) = - \frac{q \cdot z_1^2}{2}\] При \(z_1 = 0\) (точка \(D\)): \(M_x = 0\) При \(z_1 = 5\) (точка \(C\)): \(M_x = - \frac{2 \cdot 5^2}{2} = -25 \, \text{кН}\cdot\text{м}\) Участок \(CB\) (\(5 \le z_2 \le 7 \, \text{м}\)): \[M_x(z_2) = - q \cdot 5 \cdot (z_2 - 2.5)\] При \(z_2 = 5\) (точка \(C\)): \(M_x = -10 \cdot 2.5 = -25 \, \text{кН}\cdot\text{м}\) При \(z_2 = 7\) (точка \(B\) справа): \(M_x = -10 \cdot 4.5 = -45 \, \text{кН}\cdot\text{м}\) Участок \(BA\) (\(7 \le z_3 \le 8 \, \text{м}\)): В точке \(B\) приложен сосредоточенный момент \(M\). Происходит скачок на эпюре моментов. В точке \(B\) слева: \(M_x = -45 - M = -45 - 12 = -57 \, \text{кН}\cdot\text{м}\) Уравнение для участка: \[M_x(z_3) = - q \cdot 5 \cdot (z_3 - 2.5) - M - F \cdot (z_3 - 7)\] При \(z_3 = 8\) (точка \(A\)): \[M_x = -10 \cdot 5.5 - 12 - 6 \cdot 1 = -55 - 12 - 6 = -73 \, \text{кН}\cdot\text{м}\] 3. Построение эпюр: Эпюра \(Q_y\): - На участке \(DC\) — наклонная линия от 0 до 10. - На участке \(CB\) — горизонтальная линия на уровне 10. - В точке \(B\) — скачок вверх на 6 единиц (до 16). - На участке \(BA\) — горизонтальная линия на уровне 16. Эпюра \(M_x\): - На участке \(DC\) — парабола (выпуклостью вверх), от 0 до -25. - На участке \(CB\) — прямая линия от -25 до -45. - В точке \(B\) — вертикальный скачок вниз на 12 единиц (от -45 до -57). - На участке \(BA\) — прямая линия от -57 до -73.