Решение задач 1 и 2 по геометрии

Ниже представлены решения задач с карточек, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1 (верхний левый угол) Дано: \(\angle ac - \angle cb = 25^{\circ}\). Найти: \(\angle ac, \angle cb\). Решение: Так как углы смежные, их сумма равна \(180^{\circ}\). Пусть \(\angle cb = x\), тогда \(\angle ac = x + 25^{\circ}\). \[x + x + 25^{\circ} = 180^{\circ}\] \[2x = 155^{\circ}\] \[x = 77,5^{\circ} = 77^{\circ}30'\] \(\angle cb = 77^{\circ}30'\) \(\angle ac = 77^{\circ}30' + 25^{\circ} = 102^{\circ}30'\) Ответ: \(102^{\circ}30', 77^{\circ}30'\). Задача 2 (вторая сверху слева) Дано: \(\angle mk = 8 \cdot \angle kn\). Найти: \(\angle mk, \angle kn\). Решение: Сумма смежных углов равна \(180^{\circ}\). Пусть \(\angle kn = x\), тогда \(\angle mk = 8x\). \[x + 8x = 180^{\circ}\] \[9x = 180^{\circ}\] \[x = 20^{\circ}\] \(\angle kn = 20^{\circ}\) \(\angle mk = 8 \cdot 20^{\circ} = 160^{\circ}\) Ответ: \(160^{\circ}, 20^{\circ}\). Задача 3 (с отношением 4:5) Дано: \(\angle CDB : \angle ADC = 4 : 5\). Найти: \(\angle ADC, \angle CDB\). Решение: Пусть одна часть равна \(x\). Тогда \(\angle CDB = 4x\), \(\angle ADC = 5x\). \[4x + 5x = 180^{\circ}\] \[9x = 180^{\circ}\] \[x = 20^{\circ}\] \(\angle CDB = 4 \cdot 20^{\circ} = 80^{\circ}\) \(\angle ADC = 5 \cdot 20^{\circ} = 100^{\circ}\) Ответ: \(100^{\circ}, 80^{\circ}\). Задача 4 (с углом 120 градусов) Дано: \(\angle BCD = 120^{\circ}\). Найти: \(\angle BCE\). Решение: Углы \(\angle BCD\) и \(\angle BCE\) смежные. \[\angle BCE = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\] Ответ: \(60^{\circ}\). Задача 5 (с биссектрисой) Дано: \(\angle SOQ = ?\) (на рисунке луч \(OS\) — биссектриса \(\angle POR\)). Решение: Угол \(\angle POR\) развернутый и равен \(180^{\circ}\). Так как \(OS\) — биссектриса: \[\angle SOQ = 180^{\circ} : 2 = 90^{\circ}\] Ответ: \(90^{\circ}\). Задача 6 (с углом 40 градусов) Дано: \(\angle KLR = 40^{\circ}\). Найти: \(\angle TLN\). Решение: Углы \(\angle KLR\) и \(\angle TLN\) вертикальные, так как образованы пересечением прямых \(KN\) и \(TR\). Вертикальные углы равны. \[\angle TLN = \angle KLR = 40^{\circ}\] Ответ: \(40^{\circ}\). Задача 7 (с процентами) Дано: \(\angle RLS = 80\% \angle PLR\). Найти: \(\angle PLR, \angle RLS\). Решение: Пусть \(\angle PLR = x\), тогда \(\angle RLS = 0,8x\). \[x + 0,8x = 180^{\circ}\] \[1,8x = 180^{\circ}\] \[x = 100^{\circ}\] \(\angle PLR = 100^{\circ}\) \(\angle RLS = 0,8 \cdot 100^{\circ} = 80^{\circ}\) Ответ: \(100^{\circ}, 80^{\circ}\). Задача 8 (с вертикальными углами 1 и 3) Дано: \(\angle 1 + \angle 3 = 70^{\circ}\). Найти: \(\angle 2, \angle 4\). Решение: Углы 1 и 3 вертикальные, значит \(\angle 1 = \angle 3 = 70^{\circ} : 2 = 35^{\circ}\). Углы 1 и 2 смежные. \[\angle 2 = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ}\] Углы 2 и 4 вертикальные, значит \(\angle 4 = \angle 2 = 145^{\circ}\). Ответ: \(145^{\circ}, 145^{\circ}\). Задача 9 (с тремя углами) Дано: \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 240^{\circ}\). Найти: \(\angle 4\). Решение: Сумма всех четырех углов при пересечении двух прямых равна \(360^{\circ}\). \[\angle 4 = 360^{\circ} - (\angle 1 + \angle 2 + \angle 3) = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}\] Ответ: \(120^{\circ}\). Задача 10 (с перпендикуляром) Дано: \(AB \perp CD\). Найти: \(\angle AOE\). Решение: Так как прямые перпендикулярны, \(\angle AOC = 90^{\circ}\). Из рисунка видно, что \(\angle AOE\) и \(\angle EOC\) составляют прямой угол. Если данных о угле 2 нет, то \(\angle AOE = 90^{\circ} - \angle EOC\). Если же \(OE\) биссектриса, то \(45^{\circ}\). Судя по значку прямого угла у соседнего сектора, \(\angle AOE = 90^{\circ}\). Ответ: \(90^{\circ}\).