Решение задачи: Принадлежит ли точка графику функции (Карточка 061-А9)

Карточка 061-А9 №1. Принадлежит ли графику функции \(y = f(x)\) точка \(A\), если: а) \(f(x) = -(x + 6)^2\), \(A(-8; -8)\); Подставим координаты точки \(A\) в уравнение функции: \(x = -8\), \(y = -8\). \[-8 = -(-8 + 6)^2\] \[-8 = -(-2)^2\] \[-8 = -4\] Равенство неверное (\(-8 \neq -4\)). Ответ: точка \(A\) не принадлежит графику. б) \(f(x) = -(x + 7)^2 + 25\), \(A(-2; -100)\); Подставим \(x = -2\), \(y = -100\): \[-100 = -(-2 + 7)^2 + 25\] \[-100 = -(5)^2 + 25\] \[-100 = -25 + 25\] \[-100 = 0\] Равенство неверное (\(-100 \neq 0\)). Ответ: точка \(A\) не принадлежит графику. №2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) \(y = -(x + 4)^2\), \(x \in [-4; 2]\); Функция представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке \(x = -4\). Так как вершина \(x = -4\) входит в заданный отрезок, то в ней достигается наибольшее значение: \[y_{наиб} = y(-4) = -(-4 + 4)^2 = 0\] Наименьшее значение будет на другом конце отрезка, так как функция убывает при \(x > -4\): \[y_{наим} = y(2) = -(2 + 4)^2 = -6^2 = -36\] Ответ: \(y_{наиб} = 0\), \(y_{наим} = -36\). б) \(y = (x - 2)^2 + 5\), \(x \in [-1; 2]\); Ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке \(x = 2\). Так как вершина \(x = 2\) является правым концом отрезка, в ней достигается наименьшее значение: \[y_{наим} = y(2) = (2 - 2)^2 + 5 = 5\] Наибольшее значение будет на левом конце отрезка: \[y_{наиб} = y(-1) = (-1 - 2)^2 + 5 = (-3)^2 + 5 = 9 + 5 = 14\] Ответ: \(y_{наиб} = 14\), \(y_{наим} = 5\). №3. Решите графически уравнение: а) \(x^3 = 4x\); Для решения построим графики функций \(y = x^3\) (кубическая парабола) и \(y = 4x\) (прямая, проходящая через начало координат). Точки пересечения: 1) При \(x = 0\): \(0^3 = 4 \cdot 0 \Rightarrow 0 = 0\). Точка \((0; 0)\). 2) При \(x = 2\): \(2^3 = 8\), \(4 \cdot 2 = 8\). Точка \((2; 8)\). 3) При \(x = -2\): \((-2)^3 = -8\), \(4 \cdot (-2) = -8\). Точка \((-2; -8)\). Ответ: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\). б) \(-x^2 + 2 = x + 4\); Построим графики \(y = -x^2 + 2\) (парабола ветвями вниз, поднятая на 2 единицы вверх) и \(y = x + 4\) (прямая). Найдем точки пересечения: Проверим \(x = -1\): \(y = -(-1)^2 + 2 = 1\); \(y = -1 + 4 = 3\). Не подходит. Проверим \(x = -2\): \(y = -(-2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2\); \(y = -2 + 4 = 2\). Не подходит. Решим аналитически для точности построения: \(x^2 + x + 2 = 0\). Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7\). Так как \(D < 0\), графики не пересекаются. Ответ: корней нет.