Решение задачи: Выделение целой части рациональной дроби

8.4.11 Выделение целой части рациональной дроби. Домашняя работа. Задача 1. У дроби выделили целую часть: \[ \frac{18x - 5}{3x - 2} = a + \frac{b}{3x - 2} \] Чему равны числа \(a\) и \(b\)? Решение: Разделим числитель на знаменатель "уголком" или преобразуем числитель так, чтобы в нем выделилось выражение, кратное знаменателю: \[ \frac{18x - 5}{3x - 2} = \frac{6(3x - 2) + 12 - 5}{3x - 2} = \frac{6(3x - 2) + 7}{3x - 2} = \frac{6(3x - 2)}{3x - 2} + \frac{7}{3x - 2} = 6 + \frac{7}{3x - 2} \] Сравнивая с исходным равенством, получаем: \[ a = 6, \quad b = 7 \] Ответ: \(a = 6, b = 7\). Задача 2. Укажите наименьшее целое значение \(x\), при котором дробь \( \frac{x + 5}{x - 3} \) принимает целое значение. Решение: Выделим целую часть дроби: \[ \frac{x + 5}{x - 3} = \frac{(x - 3) + 8}{x - 3} = 1 + \frac{8}{x - 3} \] Чтобы дробь принимала целое значение, знаменатель \( (x - 3) \) должен быть делителем числа 8. Делители числа 8: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\). Нам нужно найти наименьшее \(x\), поэтому рассмотрим наименьший отрицательный делитель: \[ x - 3 = -8 \] \[ x = -8 + 3 \] \[ x = -5 \] Проверка: при \(x = -5\) дробь равна \( \frac{-5 + 5}{-5 - 3} = \frac{0}{-8} = 0 \) (целое число). Ответ: \(-5\). Задача 3. Найдите наибольшее значение выражения \( \frac{5y^2 + 48}{y^2 + 4} \). Решение: Выделим целую часть: \[ \frac{5y^2 + 48}{y^2 + 4} = \frac{5(y^2 + 4) - 20 + 48}{y^2 + 4} = \frac{5(y^2 + 4) + 28}{y^2 + 4} = 5 + \frac{28}{y^2 + 4} \] Выражение будет принимать наибольшее значение, когда дробь \( \frac{28}{y^2 + 4} \) максимальна. Это происходит при минимальном значении знаменателя. Так как \(y^2 \ge 0\), то минимальное значение \(y^2 + 4\) равно 4 (при \(y = 0\)). Подставим \(y = 0\): \[ 5 + \frac{28}{0 + 4} = 5 + 7 = 12 \] Ответ: 12. Задача 4. Установите соответствие между рациональными дробями в левом столбце и выражениями, полученными после выделения целой части, в правом столбце. Решение: А) \( \frac{x - 2}{4x + 1} = \frac{\frac{1}{4}(4x + 1) - \frac{1}{4} - 2}{4x + 1} = \frac{1}{4} - \frac{2,25}{4x + 1} = \frac{1}{4} - \frac{9}{4(4x + 1)} = \frac{1}{4} - \frac{9}{16x + 4} \) (соответствует номеру 2) Б) \( \frac{x + 2}{4x - 1} = \frac{\frac{1}{4}(4x - 1) + \frac{1}{4} + 2}{4x - 1} = \frac{1}{4} + \frac{2,25}{4x - 1} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4(4x - 1)} = \frac{1}{4} + \frac{9}{16x - 4} \) (соответствует номеру 3) В) \( \frac{x - 2}{4x - 1} = \frac{\frac{1}{4}(4x - 1) + \frac{1}{4} - 2}{4x - 1} = \frac{1}{4} - \frac{1,75}{4x - 1} = \frac{1}{4} - \frac{7}{4(4x - 1)} = \frac{1}{4} - \frac{7}{16x - 4} \) (соответствует номеру 1) Заполним таблицу: А - 2 Б - 3 В - 1 Задача 5. Выделите целую часть дроби \( \frac{x^2}{x - 9} \). Решение: Воспользуемся делением или методом добавления и вычитания слагаемых: \[ \frac{x^2}{x - 9} = \frac{x^2 - 81 + 81}{x - 9} = \frac{(x - 9)(x + 9) + 81}{x - 9} = \frac{(x - 9)(x + 9)}{x - 9} + \frac{81}{x - 9} = x + 9 + \frac{81}{x - 9} \] Ответ: \( x + 9 + \frac{81}{x - 9} \).