Решение задач: Упрощение алгебраических выражений

Ниже представлены решения задач с листа. Каждое решение оформлено так, чтобы его было удобно переписать в тетрадь. Задание 1. Найдите значение выражения \(\frac{64b^2 + 128b + 64}{b} : (\frac{4}{b} + 4)\) при \(b = -\frac{15}{16}\). Решение: 1) Упростим числитель первой дроби, вынеся 64 за скобки: \[64(b^2 + 2b + 1) = 64(b + 1)^2\] 2) Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: \[\frac{4}{b} + 4 = \frac{4 + 4b}{b} = \frac{4(1 + b)}{b}\] 3) Выполним деление: \[\frac{64(b + 1)^2}{b} \cdot \frac{b}{4(b + 1)} = \frac{64}{4} \cdot (b + 1) = 16(b + 1)\] 4) Подставим \(b = -\frac{15}{16}\): \[16 \cdot (-\frac{15}{16} + 1) = 16 \cdot (-\frac{15}{16} + \frac{16}{16}) = 16 \cdot \frac{1}{16} = 1\] Ответ: 1. Задание 2. Найдите значение выражения \(\frac{b^2 + 18b + 81}{b} : (\frac{9}{b} + 1)\) при \(b = -\frac{11}{2}\). Решение: 1) Упростим: \(\frac{(b + 9)^2}{b} : \frac{9 + b}{b} = \frac{(b + 9)^2}{b} \cdot \frac{b}{b + 9} = b + 9\) 2) Подставим \(b = -5,5\): \[-5,5 + 9 = 3,5\] Ответ: 3,5. Задание 3. Найдите значение выражения \(\frac{27b^2 + 108b + 108}{b} : (\frac{6}{b} + 3)\) при \(b = -\frac{4}{9}\). Решение: 1) Упростим: \(\frac{27(b^2 + 4b + 4)}{b} : \frac{6 + 3b}{b} = \frac{27(b + 2)^2}{b} \cdot \frac{b}{3(2 + b)} = 9(b + 2)\) 2) Подставим \(b = -\frac{4}{9}\): \[9 \cdot (-\frac{4}{9} + 2) = 9 \cdot (-\frac{4}{9} + \frac{18}{9}) = 9 \cdot \frac{14}{9} = 14\] Ответ: 14. Задание 4. Найдите значение выражения \((a + \frac{1}{a} + 2) \cdot \frac{1}{a + 1}\) при \(a = -5\). Решение: 1) Упростим скобку: \(a + \frac{1}{a} + 2 = \frac{a^2 + 1 + 2a}{a} = \frac{(a + 1)^2}{a}\) 2) Умножим: \(\frac{(a + 1)^2}{a} \cdot \frac{1}{a + 1} = \frac{a + 1}{a}\) 3) Подставим \(a = -5\): \[\frac{-5 + 1}{-5} = \frac{-4}{-5} = 0,8\] Ответ: 0,8. Задание 5. Найдите значение выражения \((\frac{a}{3} + \frac{3}{a} + 2) \cdot \frac{1}{a + 3}\) при \(a = 6\). Решение: 1) Упростим скобку: \(\frac{a^2 + 9 + 6a}{3a} = \frac{(a + 3)^2}{3a}\) 2) Умножим: \(\frac{(a + 3)^2}{3a} \cdot \frac{1}{a + 3} = \frac{a + 3}{3a}\) 3) Подставим \(a = 6\): \[\frac{6 + 3}{3 \cdot 6} = \frac{9}{18} = 0,5\] Ответ: 0,5. Задание 6. Найдите значение выражения \((a + \frac{1}{a} + 2) \cdot \frac{1}{a + 1}\) при \(a = 2\). Решение: 1) Как и в задаче 4, выражение упрощается до \(\frac{a + 1}{a}\). 2) Подставим \(a = 2\): \[\frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\] Ответ: 1,5. Задание 7. Найдите значение выражения \((2x + 3y)^2 - 3x(\frac{4}{3}x + 4y)\) при \(x = -1,038, y = \sqrt{3}\). Решение: 1) Раскроем скобки: \[(4x^2 + 12xy + 9y^2) - (4x^2 + 12xy)\] 2) Приведем подобные слагаемые: \[4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x^2 - 12xy = 9y^2\] 3) Подставим \(y = \sqrt{3}\): \[9 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27\] Ответ: 27. Задание 8. Найдите значение выражения \(\frac{a(b - 3a)^2}{3a^2 - ab} - 3a\) при \(a = 2,18, b = -5,6\). Решение: 1) Упростим знаменатель дроби: \(3a^2 - ab = a(3a - b)\). 2) Заметим, что \((b - 3a)^2 = (3a - b)^2\). 3) Сократим дробь: \[\frac{a(3a - b)^2}{a(3a - b)} - 3a = (3a - b) - 3a = 3a - b - 3a = -b\] 4) Подставим \(b = -5,6\): \[-(-5,6) = 5,6\] Ответ: 5,6.