Решение задач: Преобразование выражений 9 класс

Ниже представлены решения задач с листа тренинга «Преобразование выражений» для 9 класса. Задание 9. Сократите дробь \(\frac{(3x+7)^2 - (3x-7)^2}{x}\). Решение: Воспользуемся формулой разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \[ \frac{((3x+7) - (3x-7)) \cdot ((3x+7) + (3x-7))}{x} = \frac{(3x+7-3x+7) \cdot (3x+7+3x-7)}{x} = \frac{14 \cdot 6x}{x} = 14 \cdot 6 = 84 \] Ответ: 84. Задание 10. Сократите дробь \(\frac{(5x+3)^2 - (5x-3)^2}{x}\). Решение: Аналогично используем разность квадратов: \[ \frac{(5x+3-5x+3) \cdot (5x+3+5x-3)}{x} = \frac{6 \cdot 10x}{x} = 60 \] Ответ: 60. Задание 11. Найдите значение выражения \(\frac{a^2-b^2}{ab} : (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})\) при \(a=7\frac{2}{17}\), \(b=6\frac{15}{17}\). Решение: 1) Упростим выражение в скобках: \(\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a-b}{ab}\). 2) Выполним деление: \(\frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{ab}{a-b} = a+b\). 3) Подставим значения: \(7\frac{2}{17} + 6\frac{15}{17} = 13\frac{17}{17} = 14\). Ответ: 14. Задание 12. Найдите значение выражения \(\frac{a^2-4b^2}{2ab} : (\frac{1}{2b} - \frac{1}{a})\) при \(a=3\frac{1}{19}\), \(b=5\frac{9}{19}\). Решение: 1) Упростим скобки: \(\frac{1}{2b} - \frac{1}{a} = \frac{a-2b}{2ab}\). 2) Разделим: \(\frac{(a-2b)(a+2b)}{2ab} \cdot \frac{2ab}{a-2b} = a+2b\). 3) Подставим: \(3\frac{1}{19} + 2 \cdot 5\frac{9}{19} = 3\frac{1}{19} + 10\frac{18}{19} = 13\frac{19}{19} = 14\). Ответ: 14. Задание 13. Найдите значение выражения \(\frac{a^2-b^2}{ab} : (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})\) при \(a=1\frac{1}{11}\), \(b=8\frac{10}{11}\). Решение: Как и в задаче 11, выражение упрощается до \(a+b\). Подставим: \(1\frac{1}{11} + 8\frac{10}{11} = 9\frac{11}{11} = 10\). Ответ: 10. Задание 14. Найдите значение выражения \(\frac{x^2}{x^2-3xy} : \frac{x}{x^2-9y^2}\) при \(x=5+3\sqrt{6}\), \(y=2-\sqrt{6}\). Решение: 1) Упростим: \(\frac{x^2}{x(x-3y)} \cdot \frac{(x-3y)(x+3y)}{x} = \frac{x}{x-3y} \cdot \frac{(x-3y)(x+3y)}{x} = x+3y\). 2) Подставим значения: \((5+3\sqrt{6}) + 3(2-\sqrt{6}) = 5+3\sqrt{6} + 6 - 3\sqrt{6} = 11\). Ответ: 11. Задание 15. Найдите значение выражения \(\frac{x^2}{x^2+6xy} : \frac{x}{x^2-36y^2}\) при \(x=4-6\sqrt{6}\), \(y=8-\sqrt{6}\). Решение: 1) Упростим: \(\frac{x^2}{x(x+6y)} \cdot \frac{(x-6y)(x+6y)}{x} = \frac{x}{x+6y} \cdot \frac{(x-6y)(x+6y)}{x} = x-6y\). 2) Подставим значения: \((4-6\sqrt{6}) - 6(8-\sqrt{6}) = 4-6\sqrt{6} - 48 + 6\sqrt{6} = -44\). Ответ: -44.