Решение задачи №223: Скалярное произведение векторов

Решение задач по теме «Скалярное произведение векторов» № 223 Дано: \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ\) \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\) Найти: \((\vec{a} + 2\vec{b})(\vec{a} - \vec{b})\) Решение: 1) Сначала найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 120^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -0,5\] 2) Раскроем скобки в искомом выражении, используя распределительный закон: \[(\vec{a} + 2\vec{b})(\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a}^2 - \vec{a}\vec{b} + 2\vec{b}\vec{a} - 2\vec{b}^2 = \vec{a}^2 + \vec{a}\vec{b} - 2\vec{b}^2\] 3) Так как \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 1^2 = 1\) и \(\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 1^2 = 1\), подставим значения: \[1 + (-0,5) - 2 \cdot 1 = 1 - 0,5 - 2 = -1,5\] Ответ: \(-1,5\) № 224 Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): Формула: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2\) 1) \(\vec{a}(1; -3)\), \(\vec{b}(4; -2)\) \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + (-3) \cdot (-2) = 4 + 6 = 10\] 2) \(\vec{a}(-3; -8)\), \(\vec{b}(-7; -1)\) \[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot (-7) + (-8) \cdot (-1) = 21 + 8 = 29\] Ответ: 1) 10; 2) 29. № 225 Дано: \(\vec{a}(4; y)\), \(\vec{b}(5; -3)\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 8\). Найти: \(y\). Решение: Запишем выражение для скалярного произведения в координатах: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 + y \cdot (-3) = 20 - 3y\] По условию это произведение равно 8. Составим уравнение: \[20 - 3y = 8\] \[-3y = 8 - 20\] \[-3y = -12\] \[y = 4\] Ответ: \(y = 4\). № 226 Дано: \(\vec{a}(5; -1)\), \(\vec{b}(2; 6)\). Найти: \(\cos \alpha\). Решение: Косинус угла между векторами находится по формуле: \[\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\] 1) Находим скалярное произведение: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 2 + (-1) \cdot 6 = 10 - 6 = 4\] 2) Находим длины векторов: \[|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\] \[|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\] 3) Вычисляем косинус: \[\cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{26} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{260}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 65}} = \frac{2}{2\sqrt{65}} = \frac{1}{\sqrt{65}}\] При желании можно избавиться от иррациональности в знаменателе: \(\frac{\sqrt{65}}{65}\). Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{65}}\) (или \(\approx 0,124\)).