Решение задачи: Нахождение углов ∠MKS и ∠DOE

Ниже представлены решения задач с крупного плана карточек, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1 (крайняя справа) Дано: \(\angle PKN = 40^{\circ}\). Найти: \(\angle MKS\). Решение: На рисунке видно, что углы \(\angle PKN\) и \(\angle MKS\) являются вертикальными (образованы пересечением прямых \(MN\) и \(PS\)). По свойству вертикальных углов: \[\angle MKS = \angle PKN = 40^{\circ}\] Ответ: \(40^{\circ}\). Задача 2 (вторая справа) Дано: \(\angle BOE = 30^{\circ}\), \(OC\) — биссектриса \(\angle AOD\), \(OD \perp OE\). Найти: \(\angle DOE\). Решение: 1) По условию (обозначение на чертеже) угол \(\angle DOE\) является прямым, так как луч \(OD\) перпендикулярен лучу \(OE\). \[\angle DOE = 90^{\circ}\] 2) Если требуется найти \(\angle AOC\): Угол \(\angle AOB\) — развернутый (\(180^{\circ}\)). \[\angle AOD = 180^{\circ} - \angle DOE - \angle BOE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\] Так как \(OC\) — биссектриса \(\angle AOD\): \[\angle AOC = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}\] Ответ: \(\angle DOE = 90^{\circ}\). Задача 3 (третья справа) Дано: \(\angle MSP = \angle NSK\). Найти: \(\angle MSP\). Решение: На рисунке отмечено, что \(\angle KSP = 90^{\circ}\) (прямой угол). Углы \(\angle MSK\), \(\angle KSP\) и \(\angle PSN\) в сумме образуют развернутый угол \(180^{\circ}\). Пусть \(\angle MSP = \angle NSK = x\). Заметим, что \(\angle MSP = \angle MSK + \angle KSP\). Однако, проще рассмотреть вертикальные углы. Если прямые пересекаются, то \(\angle MSK = \angle PSN\). Тогда: \[\angle MSK + 90^{\circ} + \angle PSN = 180^{\circ}\] \[2 \cdot \angle MSK = 90^{\circ} \Rightarrow \angle MSK = 45^{\circ}\] \[\angle MSP = \angle MSK + \angle KSP = 45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ}\] Ответ: \(135^{\circ}\). Задача 4 (крайняя слева) Дано: \(MN\) — биссектриса \(\angle CMD\), \(\angle AMC = \angle BMD\). Найти: \(\angle AMN, \angle BMN\). Решение: Угол \(\angle AMB\) — развернутый (\(180^{\circ}\)). Из чертежа видно, что \(\angle AMC = \angle CMD = \angle DMB\). Так как их три и они равны: \[\angle AMC = \angle CMD = \angle DMB = 180^{\circ} : 3 = 60^{\circ}\] Так как \(MN\) — биссектриса \(\angle CMD\): \[\angle CMN = \angle NMD = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}\] Находим искомые углы: \[\angle AMN = \angle AMC + \angle CMN = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}\] \[\angle BMN = \angle BMD + \angle DMN = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}\] Ответ: \(90^{\circ}, 90^{\circ}\).