Решение задач на вертикальные и смежные углы

Ниже представлены решения задач со второй карточки, оформленные для записи в школьную тетрадь. Задача 1 (верхний ряд, первая слева) Дано: \(\angle ab = 120^{\circ}\). Найти: \(\angle a_1b_1, \angle ab_1\). Решение: 1) Углы \(\angle ab\) и \(\angle a_1b_1\) вертикальные, следовательно, они равны. \[\angle a_1b_1 = \angle ab = 120^{\circ}\] 2) Углы \(\angle ab\) и \(\angle ab_1\) смежные, их сумма равна \(180^{\circ}\). \[\angle ab_1 = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\] Ответ: \(120^{\circ}, 60^{\circ}\). Задача 2 (верхний ряд, вторая слева) Дано: \(\angle 1 + \angle 3 = 70^{\circ}\). Найти: \(\angle 2, \angle 4\). Решение: 1) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 3\) вертикальные, значит \(\angle 1 = \angle 3\). \[\angle 1 = 70^{\circ} : 2 = 35^{\circ}\] 2) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) смежные. \[\angle 2 = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ}\] 3) Углы \(\angle 2\) и \(\angle 4\) вертикальные. \[\angle 4 = \angle 2 = 145^{\circ}\] Ответ: \(145^{\circ}, 145^{\circ}\). Задача 3 (верхний ряд, третья слева) Дано: \(\angle mn_1 + \angle m_1n_1 + \angle m_1n = 240^{\circ}\). Найти: \(\angle mn\). Решение: Сумма всех четырех углов при пересечении прямых равна \(360^{\circ}\). \[\angle mn = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}\] Ответ: \(120^{\circ}\). Задача 4 (верхний ряд, четвертая слева) Дано: \(\angle 1 - \angle 2 = 120^{\circ}\). Найти: \(\angle 3, \angle 4\). Решение: 1) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) смежные, значит \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\). Составим систему: \[\begin{cases} \angle 1 - \angle 2 = 120^{\circ} \\ \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \end{cases}\] Сложим уравнения: \(2 \cdot \angle 1 = 300^{\circ} \Rightarrow \angle 1 = 150^{\circ}\). Тогда \(\angle 2 = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}\). 2) \(\angle 3 = \angle 1 = 150^{\circ}\) (вертикальные). 3) \(\angle 4 = \angle 2 = 30^{\circ}\) (вертикальные). Ответ: \(150^{\circ}, 30^{\circ}\). Задача 5 (нижний ряд, первая слева) Дано: \(2(\angle 1 + \angle 3) = \angle 2 + \angle 4\). Найти: \(\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4\). Решение: Пусть \(\angle 1 = \angle 3 = x\), а \(\angle 2 = \angle 4 = y\). Так как \(x + y = 180^{\circ}\), то \(y = 180^{\circ} - x\). Подставим в условие: \[2(x + x) = (180^{\circ} - x) + (180^{\circ} - x)\] \[4x = 360^{\circ} - 2x\] \[6x = 360^{\circ} \Rightarrow x = 60^{\circ}\] \(\angle 1 = \angle 3 = 60^{\circ}\). \(\angle 2 = \angle 4 = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\). Ответ: \(60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}\). Задача 6 (нижний ряд, вторая слева) Дано: \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 5 \cdot \angle 4\). Найти: \(\angle 4\). Решение: Сумма всех углов \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^{\circ}\). Заменим сумму первых трех углов по условию: \[5 \cdot \angle 4 + \angle 4 = 360^{\circ}\] \[6 \cdot \angle 4 = 360^{\circ}\] \[\angle 4 = 60^{\circ}\] Ответ: \(60^{\circ}\). Задача 7 (нижний ряд, третья слева) Дано: \(\angle 1 = \angle 2 + \angle 3\). Найти: \(\angle 1, \angle 2, \angle 3\). Решение: Углы \(\angle 2\) и \(\angle 3\) вертикальные, значит \(\angle 2 = \angle 3\). Тогда \(\angle 1 = 2 \cdot \angle 2\). Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) смежные: \[\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \Rightarrow 2 \cdot \angle 2 + \angle 2 = 180^{\circ}\] \[3 \cdot \angle 2 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 2 = 60^{\circ}\] \(\angle 3 = \angle 2 = 60^{\circ}\). \(\angle 1 = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}\). Ответ: \(120^{\circ}, 60^{\circ}, 60^{\circ}\). Задача 8 (нижний ряд, четвертая слева) Дано: \(AB \perp CD\), \(\angle 1 = \angle 2\). Найти: \(\angle AOE\). Решение: Так как \(AB \perp CD\), то \(\angle COB = 90^{\circ}\). Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) в сумме дают \(\angle COB\). \[\angle 1 = \angle 2 = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}\] Угол \(\angle AOE\) состоит из \(\angle AOC\) и \(\angle 1\). \(\angle AOC = 90^{\circ}\) (так как прямые перпендикулярны). \[\angle AOE = 90^{\circ} + 45^{\circ} = 135^{\circ}\] Ответ: \(135^{\circ}\).