Решение показательных уравнений: Примеры с ответами

Решение показательных уравнений. Первый блок заданий: 1) \( 5^{4x+7} = 125 \) \( 5^{4x+7} = 5^3 \) \( 4x + 7 = 3 \) \( 4x = 3 - 7 \) \( 4x = -4 \) \( x = -1 \) Ответ: -1. 2) \( 6^{2x+11} = 216 \) \( 6^{2x+11} = 6^3 \) \( 2x + 11 = 3 \) \( 2x = 3 - 11 \) \( 2x = -8 \) \( x = -4 \) Ответ: -4. 3) \( (\frac{1}{9})^{3-x} = 3^{x+8} \) \( (3^{-2})^{3-x} = 3^{x+8} \) \( 3^{-6+2x} = 3^{x+8} \) \( -6 + 2x = x + 8 \) \( 2x - x = 8 + 6 \) \( x = 14 \) Ответ: 14. 4) \( 5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 31 \) \( 5^x \cdot 5 + 5^x + \frac{5^x}{5} = 31 \) Вынесем \( 5^x \) за скобки: \( 5^x (5 + 1 + \frac{1}{5}) = 31 \) \( 5^x (6 + 0,2) = 31 \) \( 5^x \cdot 6,2 = 31 \) \( 5^x = 31 : 6,2 \) \( 5^x = 5 \) \( x = 1 \) Ответ: 1. 5) \( 16^x - 18 \cdot 4^x + 32 = 0 \) Пусть \( 4^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда \( 16^x = t^2 \). \( t^2 - 18t + 32 = 0 \) По теореме Виета: \( t_1 = 2, t_2 = 16 \). Обратная замена: 1) \( 4^x = 2 \Rightarrow 2^{2x} = 2^1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0,5 \) 2) \( 4^x = 16 \Rightarrow 4^x = 4^2 \Rightarrow x = 2 \) Ответ: 0,5; 2. 6) \( 12 \cdot 9^x - 35 \cdot 6^x + 18 \cdot 4^x = 0 \) Разделим обе части на \( 4^x \): \( 12 \cdot (\frac{9}{4})^x - 35 \cdot (\frac{6}{4})^x + 18 = 0 \) \( 12 \cdot (\frac{3}{2})^{2x} - 35 \cdot (\frac{3}{2})^x + 18 = 0 \) Пусть \( (\frac{3}{2})^x = t \). \( 12t^2 - 35t + 18 = 0 \) \( D = (-35)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 18 = 1225 - 864 = 361 = 19^2 \) \( t_1 = \frac{35 + 19}{24} = \frac{54}{24} = \frac{9}{4} \) \( t_2 = \frac{35 - 19}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \) Обратная замена: 1) \( (\frac{3}{2})^x = \frac{9}{4} \Rightarrow (\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^2 \Rightarrow x = 2 \) 2) \( (\frac{3}{2})^x = \frac{2}{3} \Rightarrow (\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^{-1} \Rightarrow x = -1 \) Ответ: -1; 2. Контрольное задание. I вариант: 1) \( 3^{5x+12} = 81 \Rightarrow 3^{5x+12} = 3^4 \Rightarrow 5x+12=4 \Rightarrow 5x=-8 \Rightarrow x=-1,6 \) 2) \( 49^{x+1} = (\frac{1}{7})^x \Rightarrow 7^{2x+2} = 7^{-x} \Rightarrow 2x+2=-x \Rightarrow 3x=-2 \Rightarrow x=-\frac{2}{3} \) 3) \( (\frac{1}{2})^{2-3x} = 4^{x+7} \Rightarrow 2^{3x-2} = 2^{2x+14} \Rightarrow 3x-2=2x+14 \Rightarrow x=16 \) 4) \( 3^{x+2} - 5 \cdot 3^x = 36 \Rightarrow 3^x(9-5)=36 \Rightarrow 3^x \cdot 4 = 36 \Rightarrow 3^x=9 \Rightarrow x=2 \) 5) \( 9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0 \). Пусть \( 3^x=t \). \( t^2-7t-18=0 \Rightarrow t_1=9, t_2=-2 \) (не подходит). \( 3^x=9 \Rightarrow x=2 \) 6) \( 4^{x+1} - 6^x - 2 \cdot 9^{x+1} = 0 \Rightarrow 4 \cdot 4^x - 6^x - 18 \cdot 9^x = 0 \). Делим на \( 9^x \): \( 4 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} - (\frac{2}{3})^x - 18 = 0 \). Пусть \( (\frac{2}{3})^x = t \). \( 4t^2-t-18=0 \). \( D=1+288=289=17^2 \). \( t = \frac{1+17}{8} = 2,25 = \frac{9}{4} \). \( (\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^{-2} \Rightarrow x=-2 \). Контрольное задание. II вариант: 1) \( 4^{3x-17} = 64 \Rightarrow 4^{3x-17} = 4^3 \Rightarrow 3x-17=3 \Rightarrow 3x=20 \Rightarrow x=6\frac{2}{3} \) 2) \( 9^x = (\frac{1}{27})^{2-x} \Rightarrow 3^{2x} = 3^{-3(2-x)} \Rightarrow 2x = -6+3x \Rightarrow x=6 \) 3) \( (\frac{1}{5})^{2x-3} = 25^{4-3x} \Rightarrow 5^{3-2x} = 5^{8-6x} \Rightarrow 3-2x=8-6x \Rightarrow 4x=5 \Rightarrow x=1,25 \) 4) \( 3^x + 3^{x+1} = 108 \Rightarrow 3^x(1+3)=108 \Rightarrow 3^x \cdot 4 = 108 \Rightarrow 3^x=27 \Rightarrow x=3 \) 5) \( 25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \). Пусть \( 5^x=t \). \( t^2-6t+5=0 \Rightarrow t_1=5, t_2=1 \). \( x_1=1, x_2=0 \) 6) \( 3 \cdot 3^{2x} - 7 \cdot 12^x + 4 \cdot 4^{2x} = 0 \Rightarrow 3 \cdot 9^x - 7 \cdot 12^x + 4 \cdot 16^x = 0 \). Делим на \( 16^x \): \( 3 \cdot (\frac{3}{4})^{2x} - 7 \cdot (\frac{3}{4})^x + 4 = 0 \). Пусть \( (\frac{3}{4})^x = t \). \( 3t^2-7t+4=0 \). \( t_1=1, t_2=\frac{4}{3} \). \( x_1=0, x_2=-1 \). Дополнительное задание: 1) \( 9 \cdot 81^{1-2x} = 27^{2-x} \Rightarrow 3^2 \cdot 3^{4(1-2x)} = 3^{3(2-x)} \Rightarrow 2+4-8x = 6-3x \Rightarrow 6-8x=6-3x \Rightarrow 5x=0 \Rightarrow x=0 \) 2) \( 3 \cdot 25^x - 8 \cdot 15^x + 5 \cdot 9^x = 0 \). Делим на \( 9^x \): \( 3 \cdot (\frac{5}{3})^{2x} - 8 \cdot (\frac{5}{3})^x + 5 = 0 \). Пусть \( (\frac{5}{3})^x = t \). \( 3t^2-8t+5=0 \). \( t_1=1, t_2=\frac{5}{3} \). \( x_1=0, x_2=1 \).