Решение Контрольной Работы №4 по Интегралам (Вариант 1 и 2)

Контрольная работа № 4 по теме «Интеграл» Вариант 1 Задание 1. Доказать, что \( F(x) = 3x + \sin x - e^{2x} \) является первообразной для \( f(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x} \). Доказательство: Функция \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \), если \( F'(x) = f(x) \). Найдем производную: \[ F'(x) = (3x + \sin x - e^{2x})' = (3x)' + (\sin x)' - (e^{2x})' \] \[ F'(x) = 3 + \cos x - e^{2x} \cdot (2x)' = 3 + \cos x - 2e^{2x} \] Так как \( F'(x) = f(x) \), то утверждение доказано. Задание 2. Найти первообразную \( F \) функции \( f(x) = 2\sqrt{x} \), график которой проходит через точку \( A(0; \frac{7}{8}) \). Решение: Общий вид первообразной: \[ F(x) = \int 2\sqrt{x} dx = 2 \int x^{\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + C \] Подставим координаты точки \( A(0; \frac{7}{8}) \): \[ \frac{7}{8} = \frac{4}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt{0} + C \Rightarrow C = \frac{7}{8} \] Ответ: \( F(x) = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + \frac{7}{8} \). Задание 3. Вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке. Фигура ограничена кривой \( y = x^2 - 2x + 2 \), осью \( Ox \) и прямыми \( x = 1 \), \( x = 2 \). \[ S = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 2) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_{1}^{2} \] \[ S = (\frac{8}{3} - 4 + 4) - (\frac{1}{3} - 1 + 2) = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \] Ответ: \( 1\frac{1}{3} \). Задание 4. Вычислить интегралы: а) \( \int_{1}^{2} (x + \frac{2}{x}) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2\ln|x| \right]_{1}^{2} = (\frac{4}{2} + 2\ln 2) - (\frac{1}{2} + 2\ln 1) = 2 + 2\ln 2 - 0,5 = 1,5 + 2\ln 2 \). б) \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \left[ x + \frac{1}{2}\sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin \pi) - \frac{1}{2}(0 + 0) = \frac{\pi}{4} \). Задание 5. Найти площадь фигуры, ограниченной \( y = 1 - 2x \) и \( y = x^2 - 5x - 3 \). 1) Найдем точки пересечения: \( x^2 - 5x - 3 = 1 - 2x \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 = -1, x_2 = 4 \). 2) Вычислим площадь: \[ S = \int_{-1}^{4} (1 - 2x - (x^2 - 5x - 3)) dx = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) dx \] \[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{4} = (-\frac{64}{3} + 24 + 16) - (\frac{1}{3} + 1,5 - 4) = 18,75 + 2,166... = 20\frac{5}{6} \] Вариант 2 Задание 1. Доказать, что \( F(x) = x + \cos x + e^{3x} \) есть первообразная для \( f(x) = 1 - \sin x + 3e^{3x} \). Доказательство: \[ F'(x) = (x + \cos x + e^{3x})' = 1 - \sin x + e^{3x} \cdot 3 = 1 - \sin x + 3e^{3x} \] Так как \( F'(x) = f(x) \), утверждение верно. Задание 2. Найти первообразную \( f(x) = -3\sqrt[3]{x} \), проходящую через \( A(0; \frac{3}{4}) \). Решение: \[ F(x) = \int -3x^{\frac{1}{3}} dx = -3 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = -\frac{9}{4}x\sqrt[3]{x} + C \] Подставим \( A(0; \frac{3}{4}) \): \( \frac{3}{4} = 0 + C \Rightarrow C = 0,75 \). Ответ: \( F(x) = -2,25x\sqrt[3]{x} + 0,75 \). Задание 3. Площадь фигуры на рисунке: Кривая \( y = -x^2 + 6x - 5 \), пределы интегрирования \( x = 2, x = 3 \). \[ S = \int_{2}^{3} (-x^2 + 6x - 5) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]_{2}^{3} \] \[ S = (-9 + 27 - 15) - (-\frac{8}{3} + 12 - 10) = 3 - (-\frac{8}{3} + 2) = 3 - (-\frac{2}{3}) = 3\frac{2}{3} \] Задание 4. Вычислить: а) \( \int_{1}^{3} (x^2 + \frac{3}{x}) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 3\ln|x| \right]_{1}^{3} = (9 + 3\ln 3) - (\frac{1}{3} + 0) = 8\frac{2}{3} + 3\ln 3 \). б) \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{2}\sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} \). Задание 5. Площадь между \( y = 3 - 2x \) и \( y = x^2 + 3x - 3 \). 1) Точки пересечения: \( x^2 + 3x - 3 = 3 - 2x \Rightarrow x^2 + 5x - 6 = 0 \). Корни: \( x_1 = -6, x_2 = 1 \). 2) Площадь: \[ S = \int_{-6}^{1} (3 - 2x - (x^2 + 3x - 3)) dx = \int_{-6}^{1} (-x^2 - 5x + 6) dx \] \[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x \right]_{-6}^{1} = (-\frac{1}{3} - 2,5 + 6) - (72 - 90 - 36) = 3,166... + 54 = 57\frac{1}{6} \]