Решение задач с 1 по 10

Ниже представлены подробные решения задач с 1 по 10, оформленные для записи в тетрадь. Задание №1 Найдите наименьшее значение функции \( y = x^3 - 9,5x^2 + 28x - 14 \) на отрезке \( [2; 10] \). Решение: 1. Найдем производную: \[ y' = 3x^2 - 19x + 28 \] 2. Приравняем к нулю: \( 3x^2 - 19x + 28 = 0 \). \[ D = (-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 28 = 361 - 336 = 25 \] \[ x_1 = \frac{19 + 5}{6} = 4; \quad x_2 = \frac{19 - 5}{6} = \frac{14}{6} = 2\frac{1}{3} \] Обе точки принадлежат отрезку \( [2; 10] \). 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: \( y(2) = 8 - 38 + 56 - 14 = 12 \) \( y(4) = 64 - 152 + 112 - 14 = 10 \) \( y(2\frac{1}{3}) \) будет больше 10. \( y(10) = 1000 - 950 + 280 - 14 = 316 \) Наименьшее значение равно 10. Ответ: 10 Задание №2 Найдите наибольшее значение функции \( y = 3x^5 - 20x^3 - 18 \) на отрезке \( [-8; 1] \). Решение: 1. Производная: \( y' = 15x^4 - 60x^2 = 15x^2(x^2 - 4) \). 2. Критические точки: \( x = 0, x = 2, x = -2 \). В отрезок \( [-8; 1] \) входят \( x = 0 \) и \( x = -2 \). 3. Проверка: \( y(0) = -18 \) \( y(-2) = 3(-32) - 20(-8) - 18 = -96 + 160 - 18 = 46 \) \( y(1) = 3 - 20 - 18 = -35 \) \( y(-8) \) будет очень маленьким отрицательным числом. Наибольшее значение 46. Ответ: 46 Задание №3 Найдите точку максимума функции \( y = 7 + 15x - x\sqrt{x} \). Решение: 1. Перепишем: \( y = 7 + 15x - x^{1,5} \). 2. Производная: \( y' = 15 - 1,5x^{0,5} = 15 - 1,5\sqrt{x} \). 3. Приравняем к нулю: \( 1,5\sqrt{x} = 15 \Rightarrow \sqrt{x} = 10 \Rightarrow x = 100 \). При \( x < 100 \) производная положительна, при \( x > 100 \) отрицательна. Значит, 100 — точка максимума. Ответ: 100 Задание №4 Найдите точку минимума функции \( y = 7 + 3x - x^3 \). Решение: 1. \( y' = 3 - 3x^2 \). 2. \( 3(1 - x^2) = 0 \Rightarrow x = 1, x = -1 \). 3. Расставим знаки производной: на интервале \( (-\infty; -1) \) производная отрицательна, на \( (-1; 1) \) положительна. Переход с \( - \) на \( + \) в точке \( x = -1 \). Ответ: -1 Задание №5 Найдите точку минимума функции \( y = x^{\frac{3}{2}} - 21x + 5 \). Решение: 1. \( y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 21 = 1,5\sqrt{x} - 21 \). 2. \( 1,5\sqrt{x} = 21 \Rightarrow \sqrt{x} = 14 \Rightarrow x = 196 \). Ответ: 196 Задание №6 Найдите точку минимума функции \( y = (x^3 + x^2 + x + 1)^2 \). Решение: 1. \( y' = 2(x^3 + x^2 + x + 1) \cdot (3x^2 + 2x + 1) \). 2. \( 3x^2 + 2x + 1 = 0 \) корней не имеет (\( D < 0 \)). 3. \( x^3 + x^2 + x + 1 = 0 \Rightarrow x^2(x+1) + (x+1) = 0 \Rightarrow (x^2+1)(x+1) = 0 \). Единственный корень \( x = -1 \). Это точка минимума. Ответ: -1 Задание №7 Найдите точку минимума функции \( y = x^3 - 12x^2 + 11 \). Решение: 1. \( y' = 3x^2 - 24x = 3x(x - 8) \). 2. Корни: \( x = 0, x = 8 \). 3. Знаки \( y' \): \( + \) (0) \( - \) (8) \( + \). Минимум в точке перехода с \( - \) на \( + \). Ответ: 8 Задание №8 Найдите точку максимума функции \( y = -\frac{1}{3}x\sqrt{x} + 5x + 10 \). Решение: 1. \( y = -\frac{1}{3}x^{1,5} + 5x + 10 \). 2. \( y' = -\frac{1}{3} \cdot 1,5x^{0,5} + 5 = -0,5\sqrt{x} + 5 \). 3. \( 0,5\sqrt{x} = 5 \Rightarrow \sqrt{x} = 10 \Rightarrow x = 100 \). Ответ: 100 Задание №9 Найдите точку минимума функции \( y = -21x^2 - x^3 + 32 \). Решение: 1. \( y' = -42x - 3x^2 = -3x(14 + x) \). 2. Корни: \( x = 0, x = -14 \). 3. Знаки \( y' \): \( - \) (-14) \( + \) (0) \( - \). Минимум в точке \( x = -14 \). Ответ: -14 Задание №10 Найдите точку минимума функции \( y = x^3 - 192x + 5 \). Решение: 1. \( y' = 3x^2 - 192 \). 2. \( 3x^2 = 192 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = 8, x = -8 \). 3. Знаки \( y' \): \( + \) (-8) \( - \) (8) \( + \). Минимум в точке \( x = 8 \). Ответ: 8