Решение задачи: y = (x + 2)^3 - 1

Задание №1 Построим график функции \(y = (x + 2)^3 - 1\). Графиком является кубическая парабола \(y = x^3\), смещенная на 2 единицы влево по оси \(Ox\) и на 1 единицу вниз по оси \(Oy\). Центр симметрии графика находится в точке \((-2; -1)\). Таблица значений для построения: \(x = -3 \Rightarrow y = (-3 + 2)^3 - 1 = -1 - 1 = -2\) \(x = -2 \Rightarrow y = (-2 + 2)^3 - 1 = 0 - 1 = -1\) \(x = -1 \Rightarrow y = (-1 + 2)^3 - 1 = 1 - 1 = 0\) \(x = 0 \Rightarrow y = (0 + 2)^3 - 1 = 8 - 1 = 7\) Ответы на пункты: а) По графику или подстановкой: \(f(-1) = 0\) \(f(-3) = -2\) \(f(0) = 7\) б) Корень уравнения \(f(x) = -9\): \[(x + 2)^3 - 1 = -9\] \[(x + 2)^3 = -8\] \[x + 2 = -2\] \[x = -4\] в) Решение неравенства \(f(x) < 0\): Функция принимает отрицательные значения при \(x\), лежащих левее точки пересечения с осью \(Ox\) (где \(y=0\)). Точка пересечения: \(x = -1\). Ответ: \(x \in (-\infty; -1)\). г) Наибольшее и наименьшее значения на отрезке \([-3; 0]\): Так как функция возрастает на всей области определения: Наименьшее значение: \(y_{min} = f(-3) = -2\) Наибольшее значение: \(y_{max} = f(0) = 7\) Задание №2 Построим график функции \(y = -(x - 1)^3 + 2\). Графиком является кубическая парабола \(y = -x^3\), смещенная на 1 единицу вправо по оси \(Ox\) и на 2 единицы вверх по оси \(Oy\). Центр симметрии в точке \((1; 2)\). Таблица значений: \(x = -1 \Rightarrow y = -(-1 - 1)^3 + 2 = -(-8) + 2 = 10\) \(x = 0 \Rightarrow y = -(0 - 1)^3 + 2 = -(-1) + 2 = 3\) \(x = 1 \Rightarrow y = -(1 - 1)^3 + 2 = 2\) \(x = 2 \Rightarrow y = -(2 - 1)^3 + 2 = -1 + 2 = 1\) \(x = 3 \Rightarrow y = -(3 - 1)^3 + 2 = -8 + 2 = -6\) Ответы на пункты: а) Значения функции: \(f(0) = 3\) \(f(-1) = 10\) \(f(3) = -6\) б) Корень уравнения \(f(x) = -6\): По таблице или графику видно, что при \(y = -6\) значение \(x = 3\). в) Решение неравенства \(f(x) < 1\): Найдем \(x\), при котором \(f(x) = 1\): \[-(x - 1)^3 + 2 = 1\] \[-(x - 1)^3 = -1\] \[(x - 1)^3 = 1 \Rightarrow x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\] Так как функция убывает, значения меньше 1 будут при \(x > 2\). Ответ: \(x \in (2; +\infty)\). г) Выпуклость: График кубической параболы меняет характер выпуклости в точке перегиба (центре симметрии), то есть при \(x = 1\). Функция выпукла вниз (вогнута) на промежутке \((-\infty; 1]\). Функция выпукла вверх на промежутке \([1; +\infty)\).