Решение иррациональных уравнений (Группа 1) на оценку «3»

Решение иррациональных уравнений (Группа 1) На оценку «3» 1. \(\sqrt{32 - 4x} = 4\) Возведем обе части в квадрат: \(32 - 4x = 16\) \(-4x = 16 - 32\) \(-4x = -16\) \(x = 4\) Проверка: \(\sqrt{32 - 16} = \sqrt{16} = 4\). Верно. Ответ: \(x = 4\). 2. \(\sqrt{6 - x} = x\) ОДЗ и условие: \(x \ge 0\). Возведем в квадрат: \(6 - x = x^2\) \(x^2 + x - 6 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 2\). Условию \(x \ge 0\) удовлетворяет только \(x = 2\). Ответ: \(x = 2\). 3. \(x - 1 = \sqrt{6 + 2x}\) Условие: \(x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\). Возведем в квадрат: \((x - 1)^2 = 6 + 2x\) \(x^2 - 2x + 1 = 6 + 2x\) \(x^2 - 4x - 5 = 0\) Корни: \(x_1 = 5\), \(x_2 = -1\). Условию \(x \ge 1\) удовлетворяет только \(x = 5\). Ответ: \(x = 5\). 4. \(\sqrt{9 - x} = \sqrt{x - 1}\) Возведем в квадрат: \(9 - x = x - 1\) \(-2x = -10\) \(x = 5\) Проверка: \(\sqrt{9-5} = \sqrt{4} = 2\); \(\sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2\). Верно. Ответ: \(x = 5\). На оценку «4» 5. \(\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2x - 1\) Условие: \(2x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0,5\). Возведем в квадрат: \(x^2 + 5x + 1 = (2x - 1)^2\) \(x^2 + 5x + 1 = 4x^2 - 4x + 1\) \(3x^2 - 9x = 0\) \(3x(x - 3) = 0\) \(x_1 = 0\) (не подходит по условию), \(x_2 = 3\). Ответ: \(x = 3\). 6. \(\sqrt{x + 13} - \sqrt{x + 1} = 2\) Перенесем корень: \(\sqrt{x + 13} = 2 + \sqrt{x + 1}\). Возведем в квадрат: \(x + 13 = 4 + 4\sqrt{x + 1} + x + 1\) \(13 = 5 + 4\sqrt{x + 1}\) \(8 = 4\sqrt{x + 1}\) \(2 = \sqrt{x + 1}\) \(4 = x + 1\) \(x = 3\) Проверка: \(\sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2\). Верно. Ответ: \(x = 3\). На оценку «5» 7. \(\sqrt{3x + 4} - \sqrt{x - 4} = 2\sqrt{x}\) Возведем в квадрат: \((3x + 4) - 2\sqrt{(3x + 4)(x - 4)} + (x - 4) = 4x\) \(4x - 2\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 4x\) \(-2\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 0\) \(3x^2 - 8x - 16 = 0\) \(D = 64 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256 = 16^2\) \(x_1 = \frac{8 + 16}{6} = 4\); \(x_2 = \frac{8 - 16}{6} = -\frac{4}{3}\). Проверка ОДЗ: при \(x = 4\) подкоренные выражения \(\ge 0\). При \(x = -4/3\) корень \(\sqrt{x-4}\) не существует. Ответ: \(x = 4\). 8. \(\sqrt{4x + 2\sqrt{3x^2 + 4}} = x + 2\) Возведем в квадрат: \(4x + 2\sqrt{3x^2 + 4} = (x + 2)^2\) \(4x + 2\sqrt{3x^2 + 4} = x^2 + 4x + 4\) \(2\sqrt{3x^2 + 4} = x^2 + 4\) Возведем еще раз в квадрат: \(4(3x^2 + 4) = (x^2 + 4)^2\) \(12x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16\) \(x^4 - 4x^2 = 0\) \(x^2(x^2 - 4) = 0\) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 2\); \(x_3 = -2\). Проверка: При \(x = 0\): \(\sqrt{0 + 2\sqrt{4}} = \sqrt{4} = 2\); \(0 + 2 = 2\). Подходит. При \(x = 2\): \(\sqrt{8 + 2\sqrt{16}} = \sqrt{16} = 4\); \(2 + 2 = 4\). Подходит. При \(x = -2\): \(\sqrt{-8 + 2\sqrt{16}} = \sqrt{0} = 0\); \(-2 + 2 = 0\). Подходит. Ответ: \(x \in \{-2; 0; 2\}\).