Решение задачи: Графики квадратичных функций

Для построения графиков квадратичных функций (парабол) необходимо найти координаты вершины по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) и \(y_0 = f(x_0)\), а также несколько дополнительных точек. 1. \(y = x^2 + 4x + 5\) Вершина: \(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\); \(y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1\). Точки: \((-3; 2), (-2; 1), (-1; 2), (0; 5)\). Ветви направлены вверх. 2. \(y = -x^2 + 2x - 3\) Вершина: \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1\); \(y_0 = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2\). Точки: \((0; -3), (1; -2), (2; -3), (3; -6)\). Ветви направлены вниз. 3. \(y = x^2 - 6x\) Вершина: \(x_0 = -\frac{-6}{2} = 3\); \(y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9\). Точки (корни): \(x(x - 6) = 0 \Rightarrow (0; 0)\) и \((6; 0)\). Вершина в точке \((3; -9)\). Ветви вверх. 4. \(y = -x^2 - 4x\) Вершина: \(x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2\); \(y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4\). Точки (корни): \(-x(x + 4) = 0 \Rightarrow (0; 0)\) и \((-4; 0)\). Вершина в точке \((-2; 4)\). Ветви вниз. 5. \(y = (x - 2)(x + 4)\) Раскроем скобки: \(y = x^2 + 2x - 8\). Корни (точки пересечения с \(Ox\)): \(x = 2\) и \(x = -4\). Вершина: \(x_0 = \frac{2 + (-4)}{2} = -1\); \(y_0 = (-1 - 2)(-1 + 4) = -3 \cdot 3 = -9\). Вершина в точке \((-1; -9)\). Ветви вверх. 6. \(y = -5x(x + 2)\) Раскроем скобки: \(y = -5x^2 - 10x\). Корни: \(x = 0\) и \(x = -2\). Вершина: \(x_0 = \frac{0 + (-2)}{2} = -1\); \(y_0 = -5(-1)(-1 + 2) = 5 \cdot 1 = 5\). Вершина в точке \((-1; 5)\). Ветви вниз. 7. \(y = 5x + (x - 2)^2\) Раскроем скобки: \(y = 5x + x^2 - 4x + 4 = x^2 + x + 4\). Вершина: \(x_0 = -\frac{1}{2} = -0,5\); \(y_0 = (-0,5)^2 + (-0,5) + 4 = 0,25 - 0,5 + 4 = 3,75\). Точки: \((0; 4), (-1; 4), (1; 6)\). Ветви направлены вверх. 8. \(y = (x + 1)^2 - 6(x + 1) + 8\) Пусть \(t = x + 1\), тогда \(y = t^2 - 6t + 8\). Раскроем полностью: \(y = x^2 + 2x + 1 - 6x - 6 + 8 = x^2 - 4x + 3\). Корни: \(x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3\). Вершина: \(x_0 = -\frac{-4}{2} = 2\); \(y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\). Вершина в точке \((2; -1)\). Ветви вверх.