schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение интегралов по формуле Ньютона-Лейбница (задачи 6.32, 6.33)
help_outlineУсловие задачи
Решить вычислением определённого интеграла по формуле ньютона лейбница
lightbulbКраткий ответ
Представлено решение задач 6.32 и 6.33 с использованием формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов. В решении подробно показаны шаги нахождения первообразной и вычисления значений в пределах интегрирования.
Подробное решение
Решение задач 6.32 и 6.33 с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Формула Ньютона-Лейбница:
\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \]
где \( F(x) \) — первообразная для функции \( f(x) \).
6.32
а) \( \int_{0}^{2} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2 \)
б) \( \int_{0}^{2} (-x) dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = -\frac{2^2}{2} - (-\frac{0^2}{2}) = -2 + 0 = -2 \)
в) \( \int_{-4}^{0} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-4}^{0} = \frac{0^2}{2} - \frac{(-4)^2}{2} = 0 - \frac{16}{2} = -8 \)
г) \( \int_{0}^{4} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{16}{2} - 0 = 8 \)
д) \( \int_{1}^{3} (1 - x) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{3} = (3 - \frac{3^2}{2}) - (1 - \frac{1^2}{2}) = (3 - 4,5) - (1 - 0,5) = -1,5 - 0,5 = -2 \)
е) \( \int_{-1}^{1} (2x + 2) dx = \left[ x^2 + 2x \right]_{-1}^{1} = (1^2 + 2 \cdot 1) - ((-1)^2 + 2 \cdot (-1)) = (1 + 2) - (1 - 2) = 3 - (-1) = 4 \)
6.33
а) \( \int_{2}^{4} (1 - x) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4} = (4 - \frac{4^2}{2}) - (2 - \frac{2^2}{2}) = (4 - 8) - (2 - 2) = -4 - 0 = -4 \)
б) \( \int_{0}^{3} (2x + 1) dx = \left[ x^2 + x \right]_{0}^{3} = (3^2 + 3) - (0^2 + 0) = (9 + 3) - 0 = 12 \)
в) \( \int_{2}^{3} (3x - 1) dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - x \right]_{2}^{3} = (\frac{3 \cdot 3^2}{2} - 3) - (\frac{3 \cdot 2^2}{2} - 2) = (\frac{27}{2} - 3) - (\frac{12}{2} - 2) = (13,5 - 3) - (6 - 2) = 10,5 - 4 = 6,5 \)