Решение задач на нахождение площади треугольника

Ниже представлены решения задач на нахождение площади треугольника \( S_{\triangle ABC} \), оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: \( AB = 22 \), высота \( CD = 15 \). Решение: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 15 = 11 \cdot 15 = 165 \] Ответ: 165. Задача 2. Дано: Прямоугольный треугольник, катеты \( AC = 9 \), \( BC = 4 \). Решение: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18 \] Ответ: 18. Задача 3. Дано: Прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) (\( \angle C = 90^\circ \)), \( AC = 12 \), \( BC = 20 \cdot \cos(60^\circ) \). Решение: В прямоугольном треугольнике \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \). Найдем \( BC \) через гипотенузу \( AB = 20 \) и \( \angle B = 60^\circ \): \[ BC = AB \cdot \cos(60^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60 \] Ответ: 60. Задача 4. Дано: Равнобедренный прямоугольный треугольник, гипотенуза \( AB = 26 \). Решение: В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота \( CH \), проведенная к гипотенузе, является медианой и равна половине гипотенузы: \[ CH = \frac{1}{2} AB = \frac{26}{2} = 13 \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot 13 = 13 \cdot 13 = 169 \] Ответ: 169. Задача 5. Дано: Равносторонний треугольник (\( \angle B = 60^\circ \), стороны равны), \( AC = 8 \). Решение: Для равностороннего треугольника со стороной \( a = 8 \): \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \] Ответ: \( 16\sqrt{3} \). Задача 6. Дано: \( AC \) состоит из \( AM = 6 \) и \( MC \). Высота \( BC = 10 \). \( \angle BMC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \). Решение: В \( \triangle BMC \) (\( \angle C = 90^\circ \)): так как \( \angle BMC = 45^\circ \), то \( MC = BC = 10 \). Тогда основание \( AC = AM + MC = 6 + 10 = 16 \). \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 10 = 80 \] Ответ: 80. Задача 7. Дано: \( \triangle ABC \), \( CD \) — медиана (\( AD = DB \)), \( CD = 10 \), \( BC = 16 \), \( \angle C = 90^\circ \). Решение: В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине. Значит, \( AB = 2 \cdot CD = 2 \cdot 10 = 20 \). Найдем катет \( AC \) по теореме Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12 \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \] Ответ: 96. Задача 8. Дано: Стороны \( a = 13 \), \( b = 14 \), \( c = 15 \). Решение: Используем формулу Герона. Полупериметр \( p \): \[ p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \] \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21 \cdot (21-13) \cdot (21-14) \cdot (21-15)} \] \[ S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 16} = 3 \cdot 7 \cdot 4 = 84 \] Ответ: 84.