Решение задач 1-5 по теории вероятностей

Задание 1. Дано: Вероятность всхода одного семени \( p = 0,82 \). Количество семян \( n = 9 \). Решение: Так как посадка каждого семени является независимым событием, вероятность того, что все девять семян взойдут, равна произведению вероятностей всхода каждого семени: \[ P = p^n = 0,82^9 \] Вычислим значение: \[ 0,82^9 \approx 0,1676 \] Ответ: \( 0,1676 \). Задание 2. Дано: Всего фруктов \( N = 18 \). Яблок — 7, груш — 4. Апельсинов \( N_{ap} = 18 - (7 + 4) = 7 \). Количество испытаний \( n = 7 \). Событие: откусит не менее 6 раз от апельсинов (т.е. 6 или 7 раз). Решение: Так как Маша кладет фрукт обратно, вероятность вытянуть апельсин при каждом выборе постоянна: \[ p = \frac{7}{18} \] Вероятность того, что апельсин не будет выбран: \[ q = 1 - p = \frac{11}{18} \] Используем формулу Бернулли \( P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \). Нам нужно найти \( P(X \ge 6) = P_7(6) + P_7(7) \). \[ P_7(6) = C_7^6 \cdot \left(\frac{7}{18}\right)^6 \cdot \left(\frac{11}{18}\right)^1 = 7 \cdot \frac{7^6 \cdot 11}{18^7} \] \[ P_7(7) = C_7^7 \cdot \left(\frac{7}{18}\right)^7 \cdot \left(\frac{11}{18}\right)^0 = 1 \cdot \frac{7^7}{18^7} \] \[ P = \frac{7 \cdot 7^6 \cdot 11 + 7^7}{18^7} = \frac{7^7 \cdot 11 + 7^7}{18^7} = \frac{7^7 \cdot (11 + 1)}{18^7} = \frac{7^7 \cdot 12}{18^7} \] \[ P = 12 \cdot \left(\frac{7}{18}\right)^7 \approx 12 \cdot 0,00135 \approx 0,0162 \] Ответ: \( 0,0162 \). Задание 3. Дано: Вероятность успеха \( p = 0,55 \). Вероятность неудачи \( q = 1 - 0,55 = 0,45 \). Решение: Событие «лифт начнет движение более чем с четвертого нажатия» означает, что первые четыре нажатия были неудачными. Результат последующих нажатий в данном случае не важен, так как если первые 4 раза лифт не поехал, то условие «более чем с 4-го» уже выполняется. Вероятность того, что лифт не поедет 4 раза подряд: \[ P = q^4 = 0,45^4 \] \[ P = 0,04100625 \] Ответ: \( 0,0410 \). Задание 4. Дано: Вероятность сбоя \( p = \frac{1}{25} = 0,04 \). Вероятность корректного считывания \( q = 1 - 0,04 = 0,96 \). Всего книг \( n = 20 \). Сбои только у 5-й и 17-й книг. Решение: Это конкретная последовательность событий. Нам нужно, чтобы на 5-м и 17-м местах был «сбой», а на остальных 18 местах — «успех». \[ P = p^2 \cdot q^{18} \] \[ P = 0,04^2 \cdot 0,96^{18} \] \[ P = 0,0016 \cdot 0,4796 \approx 0,000767 \] Ответ: \( 0,000767 \). Задание 5. Дано: Всего шариков 40 (по 10 каждого из 4 цветов). Количество извлечений \( n = 15 \). Нужно найти количество элементарных событий, где синий шарик появится ровно \( k = 5 \) раз. Решение: При каждом извлечении есть 40 вариантов выбора шарика. Всего элементарных исходов в серии из 15 извлечений: \( 40^{15} \). Нам нужно выбрать 5 позиций из 15 для синих шариков: \( C_{15}^5 \). На каждой из этих 5 позиций может быть любой из 10 синих шариков: \( 10^5 \). На остальных \( 15 - 5 = 10 \) позициях должен быть любой шарик другого цвета (всего их \( 40 - 10 = 30 \)): \( 30^{10} \). Количество благоприятных событий \( M \): \[ M = C_{15}^5 \cdot 10^5 \cdot 30^{10} \] Вычислим \( C_{15}^5 \): \[ C_{15}^5 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3003 \] \[ M = 3003 \cdot 10^5 \cdot 30^{10} \] Ответ: \( 3003 \cdot 10^5 \cdot 30^{10} \).