Задача 6
Источник света мощностью 100 Вт испускает \(5 \cdot 10^{20}\) фотонов за одну секунду. Найти среднюю длину излучаемой волны, массу и импульс излучения.
Дано:
Мощность источника света \(P = 100\) Вт
Количество фотонов в секунду \(N = 5 \cdot 10^{20}\) фотонов/с
Постоянная Планка \(h = 6.626 \cdot 10^{-34}\) Дж \(\cdot\) с
Скорость света \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с
Найти:
Длина волны \(\lambda\)
Масса фотона \(m\)
Импульс фотона \(p\)
Решение:
1. Найдем энергию одного фотона.
Общая энергия, излучаемая источником за одну секунду, равна его мощности:
\[E_{общ} = P \cdot t = 100 \text{ Вт} \cdot 1 \text{ с} = 100 \text{ Дж}\]
Эта энергия распределяется между \(N\) фотонами. Значит, энергия одного фотона:
\[E = \frac{E_{общ}}{N} = \frac{100 \text{ Дж}}{5 \cdot 10^{20}} = 2 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}\]
2. Найдем длину волны излучения.
Энергия фотона связана с длиной волны формулой:
\[E = \frac{h \cdot c}{\lambda}\]
Отсюда выразим длину волны:
\[\lambda = \frac{h \cdot c}{E}\]
Подставим значения:
\[\lambda = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}\]
\[\lambda = \frac{19.878 \cdot 10^{-26}}{2 \cdot 10^{-19}} \text{ м}\]
\[\lambda = 9.939 \cdot 10^{-7} \text{ м}\]
3. Найдем массу фотона.
Масса фотона может быть найдена из формулы Эйнштейна \(E = m \cdot c^2\), где \(m\) - релятивистская масса фотона.
\[m = \frac{E}{c^2}\]
Подставим значения:
\[m = \frac{2 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}\]
\[m = \frac{2 \cdot 10^{-19}}{9 \cdot 10^{16}} \text{ кг}\]
\[m \approx 0.222 \cdot 10^{-35} \text{ кг}\]
\[m \approx 2.22 \cdot 10^{-36} \text{ кг}\]
4. Найдем импульс фотона.
Импульс фотона связан с его энергией и скоростью света формулой:
\[p = \frac{E}{c}\]
Или через длину волны:
\[p = \frac{h}{\lambda}\]
Используем первый вариант:
\[p = \frac{2 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}\]
\[p \approx 0.667 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot \text{м/с}\]
\[p \approx 6.67 \cdot 10^{-28} \text{ кг} \cdot \text{м/с}\]
Ответ:
Средняя длина излучаемой волны \(\lambda \approx 9.94 \cdot 10^{-7}\) м
Масса фотона \(m \approx 2.22 \cdot 10^{-36}\) кг
Импульс излучения \(p \approx 6.67 \cdot 10^{-28}\) кг \(\cdot\) м/с
Задача 7
Чему равны энергия и масса фотона радиолокационной станции, работающей на частоте \(3 \cdot 10^9\) Гц?
Дано:
Частота излучения \(\nu = 3 \cdot 10^9\) Гц
Постоянная Планка \(h = 6.626 \cdot 10^{-34}\) Дж \(\cdot\) с
Скорость света \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с
Найти:
Энергия фотона \(E\)
Масса фотона \(m\)
Решение:
1. Найдем энергию фотона.
Энергия фотона связана с его частотой формулой Планка:
\[E = h \cdot \nu\]
Подставим значения:
\[E = 6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^9 \text{ Гц}\]
\[E = 19.878 \cdot 10^{-25} \text{ Дж}\]
\[E \approx 1.99 \cdot 10^{-24} \text{ Дж}\]
2. Найдем массу фотона.
Масса фотона может быть найдена из формулы Эйнштейна \(E = m \cdot c^2\):
\[m = \frac{E}{c^2}\]
Подставим значения:
\[m = \frac{1.9878 \cdot 10^{-24} \text{ Дж}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}\]
\[m = \frac{1.9878 \cdot 10^{-24}}{9 \cdot 10^{16}} \text{ кг}\]
\[m \approx 0.22086 \cdot 10^{-40} \text{ кг}\]
\[m \approx 2.21 \cdot 10^{-41} \text{ кг}\]
Ответ:
Энергия фотона \(E \approx 1.99 \cdot 10^{-24}\) Дж
Масса фотона \(m \approx 2.21 \cdot 10^{-41}\) кг