Решение задач по полупроводникам InSb и InP

Хорошо, давайте решим эти задачи. Задача 3 и 4 требуют использования табличных значений для эффективных масс носителей заряда и ширины запрещенной зоны для полупроводников InSb (арсенид индия) и InP (фосфид индия). Затем нужно оценить концентрацию носителей при комнатной температуре. Комнатная температура обычно принимается как \(T = 300 \text{ K}\). Формула для собственной концентрации носителей заряда \(n_i\) в полупроводнике: \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] где: \(N_c\) — эффективная плотность состояний в зоне проводимости \(N_v\) — эффективная плотность состояний в валентной зоне \(E_g\) — ширина запрещенной зоны \(k\) — постоянная Больцмана (\(k \approx 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К}\) или \(1.38 \times 10^{-23} \text{ Дж/К}\)) \(T\) — абсолютная температура Эффективные плотности состояний \(N_c\) и \(N_v\) рассчитываются по формулам: \[N_c = 2 \left(\frac{2\pi m_e^* kT}{h^2}\right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left(\frac{2\pi m_h^* kT}{h^2}\right)^{3/2}\] где: \(m_e^*\) — эффективная масса электронов \(m_h^*\) — эффективная масса дырок \(h\) — постоянная Планка (\(h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}\)) Подставив \(N_c\) и \(N_v\) в формулу для \(n_i\), получим: \[n_i = 2 \left(\frac{2\pi kT}{h^2}\right)^{3/2} (m_e^* m_h^*)^{3/4} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] Для удобства расчетов, часто используют упрощенную формулу, где \(N_c\) и \(N_v\) выражены через эффективные массы и температуру: \[N_c = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{m_e^*}{m_0}\right)^{3/2} \left(\frac{T}{300}\right)^{3/2} \text{ см}^{-3}\] \[N_v = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{m_h^*}{m_0}\right)^{3/2} \left(\frac{T}{300}\right)^{3/2} \text{ см}^{-3}\] где \(m_0\) — масса свободного электрона (\(m_0 \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}\)). Давайте найдем табличные значения для InSb и InP.

Задача 3. Оценка концентрации носителей в InSb

Табличные значения для InSb при комнатной температуре (300 K): * Ширина запрещенной зоны \(E_g = 0.17 \text{ эВ}\) * Эффективная масса электронов \(m_e^* = 0.014 m_0\) * Эффективная масса дырок \(m_h^* = 0.4 m_0\) Постоянная Больцмана в эВ/К: \(k = 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К}\) Рассчитаем \(kT\): \(kT = 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К} \times 300 \text{ К} = 0.025851 \text{ эВ}\) Рассчитаем \(N_c\) и \(N_v\): \[N_c = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{0.014 m_0}{m_0}\right)^{3/2} \left(\frac{300}{300}\right)^{3/2} = 2.51 \times 10^{19} \times (0.014)^{3/2} \times 1\] \[N_c = 2.51 \times 10^{19} \times 0.001656 \approx 4.16 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\] \[N_v = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{0.4 m_0}{m_0}\right)^{3/2} \left(\frac{300}{300}\right)^{3/2} = 2.51 \times 10^{19} \times (0.4)^{3/2} \times 1\] \[N_v = 2.51 \times 10^{19} \times 0.25298 \approx 6.35 \times 10^{18} \text{ см}^{-3}\] Теперь рассчитаем \(n_i\): \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] \[n_i = \sqrt{4.16 \times 10^{16} \times 6.35 \times 10^{18}} \exp\left(-\frac{0.17 \text{ эВ}}{2 \times 0.025851 \text{ эВ}}\right)\] \[n_i = \sqrt{2.6416 \times 10^{35}} \exp\left(-\frac{0.17}{0.051702}\right)\] \[n_i = 5.14 \times 10^{17} \exp(-3.288)\] \[n_i = 5.14 \times 10^{17} \times 0.0373\] \[n_i \approx 1.92 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\] Ответ к задаче 3: Концентрация носителей в собственном полупроводнике InSb при комнатной температуре составляет примерно \(1.92 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\).

Задача 4. Оценка концентрации носителей в InP

Табличные значения для InP при комнатной температуре (300 K): * Ширина запрещенной зоны \(E_g = 1.34 \text{ эВ}\) * Эффективная масса электронов \(m_e^* = 0.077 m_0\) * Эффективная масса дырок \(m_h^* = 0.64 m_0\) Постоянная Больцмана в эВ/К: \(k = 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К}\) Рассчитаем \(kT\): \(kT = 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К} \times 300 \text{ К} = 0.025851 \text{ эВ}\) Рассчитаем \(N_c\) и \(N_v\): \[N_c = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{0.077 m_0}{m_0}\right)^{3/2} \left(\frac{300}{300}\right)^{3/2} = 2.51 \times 10^{19} \times (0.077)^{3/2} \times 1\] \[N_c = 2.51 \times 10^{19} \times 0.02137 \approx 5.36 \times 10^{17} \text{ см}^{-3}\] \[N_v = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{0.64 m_0}{m_0}\right)^{3/2} \left(\frac{300}{300}\right)^{3/2} = 2.51 \times 10^{19} \times (0.64)^{3/2} \times 1\] \[N_v = 2.51 \times 10^{19} \times 0.512 \approx 1.28 \times 10^{19} \text{ см}^{-3}\] Теперь рассчитаем \(n_i\): \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] \[n_i = \sqrt{5.36 \times 10^{17} \times 1.28 \times 10^{19}} \exp\left(-\frac{1.34 \text{ эВ}}{2 \times 0.025851 \text{ эВ}}\right)\] \[n_i = \sqrt{6.8608 \times 10^{36}} \exp\left(-\frac{1.34}{0.051702}\right)\] \[n_i = 8.28 \times 10^{18} \exp(-25.917)\] \[n_i = 8.28 \times 10^{18} \times 4.54 \times 10^{-12}\] \[n_i \approx 3.76 \times 10^{7} \text{ см}^{-3}\] Ответ к задаче 4: Концентрация носителей в собственном полупроводнике InP при комнатной температуре составляет примерно \(3.76 \times 10^{7} \text{ см}^{-3}\).

Итоги для тетради:

Задача 3. Оценка концентрации носителей в собственном полупроводнике InSb.

Дано: * Полупроводник: InSb * Температура: \(T = 300 \text{ К}\) (комнатная температура) * Ширина запрещенной зоны \(E_g = 0.17 \text{ эВ}\) * Эффективная масса электронов \(m_e^* = 0.014 m_0\) * Эффективная масса дырок \(m_h^* = 0.4 m_0\) * Постоянная Больцмана \(k = 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К}\) * Масса свободного электрона \(m_0 \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}\) Формулы: 1. Эффективная плотность состояний в зоне проводимости: \[N_c = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{m_e^*}{m_0}\right)^{3/2} \left(\frac{T}{300}\right)^{3/2} \text{ см}^{-3}\] 2. Эффективная плотность состояний в валентной зоне: \[N_v = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{m_h^*}{m_0}\right)^{3/2} \left(\frac{T}{300}\right)^{3/2} \text{ см}^{-3}\] 3. Собственная концентрация носителей заряда: \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] Решение: 1. Рассчитаем \(kT\): \(kT = 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К} \times 300 \text{ К} = 0.025851 \text{ эВ}\) 2. Рассчитаем \(N_c\): \(N_c = 2.51 \times 10^{19} \times (0.014)^{3/2} = 2.51 \times 10^{19} \times 0.001656 \approx 4.16 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\) 3. Рассчитаем \(N_v\): \(N_v = 2.51 \times 10^{19} \times (0.4)^{3/2} = 2.51 \times 10^{19} \times 0.25298 \approx 6.35 \times 10^{18} \text{ см}^{-3}\) 4. Рассчитаем \(n_i\): \[n_i = \sqrt{4.16 \times 10^{16} \times 6.35 \times 10^{18}} \exp\left(-\frac{0.17}{2 \times 0.025851}\right)\] \[n_i = \sqrt{2.6416 \times 10^{35}} \exp(-3.288)\] \[n_i = 5.14 \times 10^{17} \times 0.0373 \approx 1.92 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\] Ответ: Концентрация носителей в собственном полупроводнике InSb при комнатной температуре составляет примерно \(1.92 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\).

Задача 4. Оценка концентрации носителей в собственном полупроводнике InP.

Дано: * Полупроводник: InP * Температура: \(T = 300 \text{ К}\) (комнатная температура) * Ширина запрещенной зоны \(E_g = 1.34 \text{ эВ}\) * Эффективная масса электронов \(m_e^* = 0.077 m_0\) * Эффективная масса дырок \(m_h^* = 0.64 m_0\) * Постоянная Больцмана \(k = 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К}\) * Масса свободного электрона \(m_0 \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}\) Формулы: 1. Эффективная плотность состояний в зоне проводимости: \[N_c = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{m_e^*}{m_0}\right)^{3/2} \left(\frac{T}{300}\right)^{3/2} \text{ см}^{-3}\] 2. Эффективная плотность состояний в валентной зоне: \[N_v = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{m_h^*}{m_0}\right)^{3/2} \left(\frac{T}{300}\right)^{3/2} \text{ см}^{-3}\] 3. Собственная концентрация носителей заряда: \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] Решение: 1. Рассчитаем \(kT\): \(kT = 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К} \times 300 \text{ К} = 0.025851 \text{ эВ}\) 2. Рассчитаем \(N_c\): \(N_c = 2.51 \times 10^{19} \times (0.077)^{3/2} = 2.51 \times 10^{19} \times 0.02137 \approx 5.36 \times 10^{17} \text{ см}^{-3}\) 3. Рассчитаем \(N_v\): \(N_v = 2.51 \times 10^{19} \times (0.64)^{3/2} = 2.51 \times 10^{19} \times 0.512 \approx 1.28 \times 10^{19} \text{ см}^{-3}\) 4. Рассчитаем \(n_i\): \[n_i = \sqrt{5.36 \times 10^{17} \times 1.28 \times 10^{19}} \exp\left(-\frac{1.34}{2 \times 0.025851}\right)\] \[n_i = \sqrt{6.8608 \times 10^{36}} \exp(-25.917)\] \[n_i = 8.28 \times 10^{18} \times 4.54 \times 10^{-12} \approx 3.76 \times 10^{7} \text{ см