Решение задачи 3: Концентрация носителей в InSb

Хорошо, давайте решим эти задачи. Задача 3 и 4 касаются оценки концентрации носителей в собственном полупроводнике при комнатной температуре. Для этого нам понадобятся табличные значения эффективных масс носителей (электронов и дырок) для указанных полупроводников и формула для собственной концентрации носителей.

Задача 3. Оценить при комнатной температуре концентрацию носителей в собственном полупроводнике InSb.

Для собственного полупроводника концентрация электронов \(n\) равна концентрации дырок \(p\), и они обе равны собственной концентрации носителей \(n_i\). Формула для собственной концентрации носителей: \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] где: \(N_c\) — эффективная плотность состояний в зоне проводимости \(N_v\) — эффективная плотность состояний в валентной зоне \(E_g\) — ширина запрещенной зоны \(k\) — постоянная Больцмана (\(8.617 \times 10^{-5}\) эВ/К или \(1.38 \times 10^{-23}\) Дж/К) \(T\) — абсолютная температура (комнатная температура обычно принимается за \(300\) К) Эффективные плотности состояний \(N_c\) и \(N_v\) рассчитываются по формулам: \[N_c = 2 \left(\frac{2\pi m_e^* kT}{h^2}\right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left(\frac{2\pi m_h^* kT}{h^2}\right)^{3/2}\] где: \(m_e^*\) — эффективная масса электронов \(m_h^*\) — эффективная масса дырок \(h\) — постоянная Планка (\(6.626 \times 10^{-34}\) Дж·с) Подставим \(N_c\) и \(N_v\) в формулу для \(n_i\): \[n_i = 2 \left(\frac{2\pi kT}{h^2}\right)^{3/2} (m_e^* m_h^*)^{3/4} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] Теперь нам нужны табличные значения для InSb при комнатной температуре (\(T = 300\) К): * Ширина запрещенной зоны \(E_g \approx 0.17\) эВ * Эффективная масса электронов \(m_e^* \approx 0.014 m_0\) (где \(m_0\) — масса свободного электрона, \(9.109 \times 10^{-31}\) кг) * Эффективная масса дырок \(m_h^* \approx 0.4 m_0\) Константы: * \(k = 8.617 \times 10^{-5}\) эВ/К * \(h = 6.626 \times 10^{-34}\) Дж·с * \(m_0 = 9.109 \times 10^{-31}\) кг Сначала рассчитаем \(kT\) в эВ: \(kT = 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К} \times 300 \text{ К} = 0.025851 \text{ эВ}\) Теперь рассчитаем \(N_c\) и \(N_v\). Для удобства можно использовать формулу для \(N_c\) и \(N_v\) в единицах \(\text{см}^{-3}\) при \(T=300\) К: \[N_c = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{m_e^*}{m_0}\right)^{3/2} \left(\frac{T}{300}\right)^{3/2} \text{ см}^{-3}\] \[N_v = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{m_h^*}{m_0}\right)^{3/2} \left(\frac{T}{300}\right)^{3/2} \text{ см}^{-3}\] Поскольку \(T=300\) К, \(\left(\frac{T}{300}\right)^{3/2} = 1\). Для InSb: \(N_c = 2.51 \times 10^{19} \times (0.014)^{3/2} \text{ см}^{-3} \approx 2.51 \times 10^{19} \times 0.00165 \text{ см}^{-3} \approx 4.14 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\) \(N_v = 2.51 \times 10^{19} \times (0.4)^{3/2} \text{ см}^{-3} \approx 2.51 \times 10^{19} \times 0.253 \text{ см}^{-3} \approx 6.35 \times 10^{18} \text{ см}^{-3}\) Теперь подставим эти значения в формулу для \(n_i\): \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] \[n_i = \sqrt{4.14 \times 10^{16} \times 6.35 \times 10^{18}} \exp\left(-\frac{0.17}{2 \times 0.025851}\right)\] \[n_i = \sqrt{2.629 \times 10^{35}} \exp\left(-\frac{0.17}{0.051702}\right)\] \[n_i = 5.127 \times 10^{17} \exp(-3.288)\] \[n_i = 5.127 \times 10^{17} \times 0.0373\] \[n_i \approx 1.91 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\] Ответ: Концентрация носителей в собственном полупроводнике InSb при комнатной температуре составляет примерно \(1.91 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\).

Задача 4. Оценить при комнатной температуре концентрацию носителей в собственном полупроводнике InP.

Аналогично задаче 3, нам нужны табличные значения для InP при комнатной температуре (\(T = 300\) К): * Ширина запрещенной зоны \(E_g \approx 1.34\) эВ * Эффективная масса электронов \(m_e^* \approx 0.073 m_0\) * Эффективная масса дырок \(m_h^* \approx 0.6 m_0\) Константы и \(kT\) те же: * \(kT = 0.025851\) эВ Рассчитаем \(N_c\) и \(N_v\) для InP: \(N_c = 2.51 \times 10^{19} \times (0.073)^{3/2} \text{ см}^{-3} \approx 2.51 \times 10^{19} \times 0.0197 \text{ см}^{-3} \approx 4.95 \times 10^{17} \text{ см}^{-3}\) \(N_v = 2.51 \times 10^{19} \times (0.6)^{3/2} \text{ см}^{-3} \approx 2.51 \times 10^{19} \times 0.465 \text{ см}^{-3} \approx 1.17 \times 10^{19} \text{ см}^{-3}\) Теперь подставим эти значения в формулу для \(n_i\): \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] \[n_i = \sqrt{4.95 \times 10^{17} \times 1.17 \times 10^{19}} \exp\left(-\frac{1.34}{2 \times 0.025851}\right)\] \[n_i = \sqrt{5.7915 \times 10^{36}} \exp\left(-\frac{1.34}{0.051702}\right)\] \[n_i = 2.406 \times 10^{18} \exp(-25.918)\] \[n_i = 2.406 \times 10^{18} \times 4.54 \times 10^{-12}\] \[n_i \approx 1.09 \times 10^{7} \text{ см}^{-3}\] Ответ: Концентрация носителей в собственном полупроводнике InP при комнатной температуре составляет примерно \(1.09 \times 10^{7} \text{ см}^{-3}\).

Итоги для переписывания в тетрадь:

Задача 3.

Оценить при комнатной температуре концентрацию носителей в собственном полупроводнике InSb. Дано: * Полупроводник: InSb * Температура: \(T = 300\) К (комнатная температура) * Ширина запрещенной зоны: \(E_g = 0.17\) эВ * Эффективная масса электронов: \(m_e^* = 0.014 m_0\) * Эффективная масса дырок: \(m_h^* = 0.4 m_0\) * Постоянная Больцмана: \(k = 8.617 \times 10^{-5}\) эВ/К * Масса свободного электрона: \(m_0 = 9.109 \times 10^{-31}\) кг Решение: 1. Рассчитаем произведение \(kT\): \(kT = 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К} \times 300 \text{ К} = 0.025851 \text{ эВ}\) 2. Рассчитаем эффективные плотности состояний в зоне проводимости (\(N_c\)) и валентной зоне (\(N_v\)). Используем упрощенную формулу для \(T=300\) К: \[N_c = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{m_e^*}{m_0}\right)^{3/2} \text{ см}^{-3}\] \[N_v = 2.51 \times 10^{19} \left(\frac{m_h^*}{m_0}\right)^{3/2} \text{ см}^{-3}\] Для InSb: \(N_c = 2.51 \times 10^{19} \times (0.014)^{3/2} \approx 4.14 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\) \(N_v = 2.51 \times 10^{19} \times (0.4)^{3/2} \approx 6.35 \times 10^{18} \text{ см}^{-3}\) 3. Рассчитаем собственную концентрацию носителей (\(n_i\)) по формуле: \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] \[n_i = \sqrt{4.14 \times 10^{16} \times 6.35 \times 10^{18}} \exp\left(-\frac{0.17}{2 \times 0.025851}\right)\] \[n_i = \sqrt{2.629 \times 10^{35}} \exp\left(-\frac{0.17}{0.051702}\right)\] \[n_i = 5.127 \times 10^{17} \exp(-3.288)\] \[n_i = 5.127 \times 10^{17} \times 0.0373\] \[n_i \approx 1.91 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\] Ответ: Концентрация носителей в собственном полупроводнике InSb при комнатной температуре составляет примерно \(1.91 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\).

Задача 4.

Оценить при комнатной температуре концентрацию носителей в собственном полупроводнике InP. Дано: * Полупроводник: InP * Температура: \(T = 300\) К * Ширина запрещенной зоны: \(E_g = 1.34\) эВ * Эффективная масса электронов: \(m_e^* = 0.073 m_0\) * Эффективная масса дырок: \(m_h^* = 0.6 m_0\) * Постоянная Больцмана: \(k = 8.617 \times 10^{-5}\) эВ/К * Масса свободного электрона: \(m_0 = 9.109 \times 10^{-31}\) кг Решение: 1. Рассчитаем произведение \(kT\): \(kT = 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К} \times 300 \text{ К} = 0.025851 \text{ эВ}\) 2. Рассчитаем эффективные плотности состояний в зоне проводимости (\(N_c\)) и валентной зоне (\(N_v\)): Для InP: \(N_c = 2.51 \times 10^{19} \times (0.073)^{3/2} \approx 4.95 \times 10^{17} \text{ см}^{-3}\) \(N_v = 2.51 \times 10^{19} \times (0.6)^{3/2} \approx 1.17 \times 10^{19} \text{ см}^{-3}\) 3. Рассчитаем собственную концентрацию носителей (\(n_i\)) по формуле: \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] \[n_i = \sqrt{4.95 \times 10^{17} \times 1.17 \times 10^{19}} \exp\left(-\frac{1.34}{2 \times 0.025851}\right)\] \[n_i = \sqrt{5.7915 \times 10^{36}} \exp\left(-\frac{1.34}{0.051702}\right)\] \[n_i = 2.406 \times 10^{18} \exp(-25.918)\] \[n_i = 2.406 \times 10^{18} \times 4.54 \times 10^{-12}\] \[n_i \approx 1.09 \times 10^{7} \text{ см}^{-3}\] Ответ: Концентрация носителей в собственном полупроводнике InP при комнатной температуре составляет примерно \(1.09 \times 10^{7} \text{ см}^{-3}\).