Решение задачи по алгебре 8 класс. Вариант 1

Алгебра, 8-й класс. Вариант 1. Задача 1. Пусть \(x\) км/ч — скорость второго автомобиля. Тогда скорость первого автомобиля равна \(x + 10\) км/ч. Расстояние между городами составляет 560 км. Время, затраченное вторым автомобилем: \(t_2 = \frac{560}{x}\) ч. Время, затраченное первым автомобилем: \(t_1 = \frac{560}{x + 10}\) ч. По условию задачи первый автомобиль приехал на 1 час раньше второго. Составим уравнение: \[\frac{560}{x} - \frac{560}{x + 10} = 1\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{560(x + 10) - 560x}{x(x + 10)} = 1\] \[\frac{560x + 5600 - 560x}{x^2 + 10x} = 1\] \[\frac{5600}{x^2 + 10x} = 1\] \[x^2 + 10x - 5600 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500 = 150^2\] Находим корни уравнения: \[x_1 = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70\] \[x_2 = \frac{-10 - 150}{2} = -80\] (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной) Скорость второго автомобиля \(x = 70\) км/ч. Скорость первого автомобиля: \(x + 10 = 70 + 10 = 80\) км/ч. Ответ: 80 км/ч и 70 км/ч. Задача 2. Пусть \(x\) км/ч — скорость течения реки. Собственная скорость катера — 20 км/ч. Скорость катера по течению: \(20 + x\) км/ч. Скорость катера против течения: \(20 - x\) км/ч. Расстояние против течения — 36 км, время: \(t_1 = \frac{36}{20 - x}\) ч. Расстояние по течению — 22 км, время: \(t_2 = \frac{22}{20 + x}\) ч. Общее время в пути составляет 3 часа. Составим уравнение: \[\frac{36}{20 - x} + \frac{22}{20 + x} = 3\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{36(20 + x) + 22(20 - x)}{(20 - x)(20 + x)} = 3\] \[\frac{720 + 36x + 440 - 22x}{400 - x^2} = 3\] \[\frac{1160 + 14x}{400 - x^2} = 3\] \[1160 + 14x = 3(400 - x^2)\] \[1160 + 14x = 1200 - 3x^2\] \[3x^2 + 14x - 40 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 196 + 480 = 676 = 26^2\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-14 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2\] \[x_2 = \frac{-14 - 26}{6} = -\frac{40}{6}\] (не подходит) Скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ: 2 км/ч.