Решение контрольной работы: Объемы тел вращения

Контрольная работа по теме: «Объемы тел вращения» Вариант 1 Задача 1 Дано: Конус \(d = 6\) см \(H = 5\) см Найти: \(V\) Решение: 1. Найдем радиус основания конуса: \[R = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ (см)}\] 2. Вычислим объем конуса по формуле \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 H\): \[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 5 = 15\pi \text{ (см}^3\text{)}\] Ответ: \(15\pi\) см\(^3\). Задача 2 Дано: Два шара \(V_1 : V_2 = 8 : 125\) Найти: \(S_1 : S_2\) Решение: 1. Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: \[\frac{V_1}{V_2} = k^3 \Rightarrow k^3 = \frac{8}{125} \Rightarrow k = \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5}\] 2. Отношение площадей поверхностей подобных тел равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}\] Ответ: \(4 : 25\). Задача 3 Дано: Конус \(L = 10\) см \(\alpha = 30^\circ\) (угол между образующей и плоскостью основания) Найти: \(S_{бок}\) Решение: 1. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей: \[R = L \cdot \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ (см)}\] 2. Площадь боковой поверхности конуса: \[S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 10 = 50\sqrt{3}\pi \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: \(50\sqrt{3}\pi\) см\(^2\). Задача 4 Дано: Цилиндр \(H = 5\) см \(\beta = 30^\circ\) (угол диагонали осевого сечения с основанием) Найти: \(V, S_{полн}\) Решение: 1. Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \(H\) и \(d\) (диаметр). \[d = \frac{H}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{5}{1/\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} \text{ (см)}\] 2. Радиус основания: \(R = \frac{d}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} = 2,5\sqrt{3}\) см. 3. Объем: \[V = \pi R^2 H = \pi \cdot (2,5\sqrt{3})^2 \cdot 5 = \pi \cdot 6,25 \cdot 3 \cdot 5 = 93,75\pi \text{ (см}^3\text{)}\] 4. Площадь полной поверхности: \[S_{полн} = 2\pi R(H + R) = 2\pi \cdot 2,5\sqrt{3} \cdot (5 + 2,5\sqrt{3}) = 5\sqrt{3}\pi(5 + 2,5\sqrt{3}) = (25\sqrt{3} + 37,5)\pi \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: \(V = 93,75\pi\) см\(^3\); \(S_{полн} = (25\sqrt{3} + 37,5)\pi\) см\(^2\). Задача 5 Дано: Цилиндрический сосуд \(V_{воды} = 5000\) см\(^3\) \(h_1 = 14\) см \(\Delta h = 7\) см Найти: \(V_{детали}\) Решение: 1. Объем воды в цилиндре: \(V_{воды} = S_{осн} \cdot h_1\). Найдем площадь основания: \[S_{осн} = \frac{V_{воды}}{h_1} = \frac{5000}{14} = \frac{2500}{7} \text{ (см}^2\text{)}\] 2. Объем вытесненной жидкости равен объему погруженной детали: \[V_{детали} = S_{осн} \cdot \Delta h = \frac{2500}{7} \cdot 7 = 2500 \text{ (см}^3\text{)}\] Ответ: \(2500\) см\(^3\). Задача 6 Дано: Усеченный конус: \(r = 3\) см, \(R = 6\) см, \(L = 5\) см. Цилиндр: \(H_{цил} = H_{конуса}\), \(S_{полн.цил} = S_{полн.конуса}\). Найти: \(R_{цил}\) Решение: 1. Найдем высоту усеченного конуса через прямоугольную трапецию в сечении: \[H = \sqrt{L^2 - (R - r)^2} = \sqrt{5^2 - (6 - 3)^2} = \sqrt{25 - 9} = 4 \text{ (см)}\] 2. Площадь полной поверхности усеченного конуса: \[S_{конуса} = \pi L(R + r) + \pi R^2 + \pi r^2 = \pi \cdot 5(6 + 3) + \pi \cdot 6^2 + \pi \cdot 3^2 = 45\pi + 36\pi + 9\pi = 90\pi \text{ (см}^2\text{)}\] 3. Площадь полной поверхности цилиндра (\(H = 4\)): \[S_{цил} = 2\pi R_{цил}(H + R_{цил}) = 2\pi R_{цил}(4 + R_{цил})\] 4. Так как поверхности равновелики: \[2\pi R_{цил}(4 + R_{цил}) = 90\pi\] \[R_{цил}^2 + 4R_{цил} - 45 = 0\] По теореме Виета: \(R_1 = 5\), \(R_2 = -9\) (не подходит). Ответ: \(5\) см.