Решение задач по геометрии: прямоугольные треугольники

Ниже представлено подробное решение задач с геометрических чертежей. Все задачи решаются на основе свойств прямоугольных треугольников и суммы углов треугольника. Задача 1 Дано: треугольник ABC — прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)), \( \angle B = 70^\circ \). Найти: \( \angle A \). Решение: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^\circ \). \[ \angle A = 90^\circ - \angle B \] \[ \angle A = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \] Ответ: \( 20^\circ \). Задача 2 Дано: треугольник ABC — прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)), гипотенуза \( AB = 10 \), \( \angle B = 30^\circ \). Найти: катет \( AC \). Решение: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^\circ \), равен половине гипотенузы. \[ AC = \frac{1}{2} \cdot AB \] \[ AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \] Ответ: 5. Задача 3 Дано: треугольник ABC — прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)), гипотенуза \( AB = 2,4 \), \( \angle B = 60^\circ \). Найти: катет \( BC \). Решение: 1) Найдем угол A: \( \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \). 2) Катет \( BC \) лежит против угла \( \angle A = 30^\circ \), значит он равен половине гипотенузы: \[ BC = \frac{1}{2} \cdot AB \] \[ BC = \frac{1}{2} \cdot 2,4 = 1,2 \] Ответ: 1,2. Задача 4 Дано: треугольник ABC — прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)), внешний угол при вершине A равен \( 140^\circ \). Найти: \( \angle B \). Решение: 1) Найдем внутренний угол A как смежный с внешним: \[ \angle BAC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \] 2) Найдем угол B: \[ \angle B = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \] Ответ: \( 50^\circ \). Задача 5 Дано: треугольник ABC — прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)), гипотенуза \( AB = 4,8 \), катет \( BC = 2,4 \). Найти: \( \angle A \). Решение: Заметим, что катет \( BC \) ровно в два раза меньше гипотенузы \( AB \): \[ \frac{BC}{AB} = \frac{2,4}{4,8} = \frac{1}{2} \] Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в \( 30^\circ \). Следовательно, \( \angle A = 30^\circ \). Ответ: \( 30^\circ \). Задача 6 Дано: треугольник ABC — прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)), катеты равны (\( AC = BC \)). Найти: \( \angle A \) и \( \angle B \). Решение: Так как катеты равны, треугольник является равнобедренным. В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны по \( 45^\circ \). \[ \angle A = \angle B = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \] Ответ: \( 45^\circ \), \( 45^\circ \). Задача 7 Дано: треугольник ABD — равнобедренный (\( AB = BD \)), \( BC \) — высота (\( BC \perp AD \)), \( \angle CBD = 25^\circ \). Найти: \( \angle A \). Решение: 1) В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Значит, \( \angle ABC = \angle CBD = 25^\circ \). 2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол A равен: \[ \angle A = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \] Ответ: \( 65^\circ \).