Решение задач по физике: Закон сохранения импульса

Решение задачи №6 Дано: \(m_1 = 35\) кг \(v_1 = 2\) м/с \(m_2 = 2\) кг \(v_2 = 1\) м/с Найти: \(u\) — ? Решение: Воспользуемся законом сохранения импульса. Выберем направление оси \(X\) по направлению движения мальчика. Так как скейт движется навстречу, его скорость будет отрицательной. \[m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u\] Выразим скорость \(u\): \[u = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2}\] Подставим значения: \[u = \frac{35 \cdot 2 - 2 \cdot 1}{35 + 2} = \frac{70 - 2}{37} = \frac{68}{37} \approx 1,84 \text{ м/с}\] Ответ: \(u \approx 1,84\) м/с. Решение задачи №7 Дано: \(M = 450\) т \(V = 6,5\) км/с \(m_2 = 60\) т \(v_2 = 2,7\) км/с Найти: \(v_1\) — ? Решение: Масса первой ступени: \(m_1 = M - m_2 = 450 - 60 = 390\) т. По закону сохранения импульса: \[M V = m_1 v_1 + m_2 v_2\] Выразим скорость первой ступени \(v_1\): \[v_1 = \frac{M V - m_2 v_2}{m_1}\] Подставим значения: \[v_1 = \frac{450 \cdot 6,5 - 60 \cdot 2,7}{390} = \frac{2925 - 162}{390} = \frac{2763}{390} \approx 7,08 \text{ км/с}\] Ответ: \(v_1 \approx 7,08\) км/с. Решение задачи №11 Дано: \(h_1 = 1\) м \(h_2 = 2\) м \(g = 10\) м/с\(^2\) Найти: \(v_0\) — ? Решение: При абсолютно упругом ударе скорость мяча сразу после удара \(v\) должна быть такой, чтобы он поднялся на высоту \(h_2\). Из закона сохранения энергии: \[\frac{m v^2}{2} = m g h_2 \Rightarrow v = \sqrt{2 g h_2}\] Эта же скорость \(v\) была у мяча в момент касания земли при падении. Для падения с начальной скоростью \(v_0\): \[\frac{m v_0^2}{2} + m g h_1 = \frac{m v^2}{2}\] Подставим выражение для \(v^2\): \[\frac{v_0^2}{2} + g h_1 = g h_2\] \[v_0^2 = 2g(h_2 - h_1)\] \[v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot (2 - 1)} = \sqrt{20} \approx 4,47 \text{ м/с}\] Ответ: \(v_0 \approx 4,47\) м/с. Решение задачи №12 Дано: \(h = 5\) м \(v_0 = 5\) м/с \(L = 3\) м \(m = 50\) кг \(g = 10\) м/с\(^2\) Найти: \(v\) — ?, \(F_c\) — ? Решение: 1) Найдем скорость входа в воду \(v\) из закона сохранения энергии: \[\frac{m v_0^2}{2} + m g h = \frac{m v^2}{2}\] \[v = \sqrt{v_0^2 + 2 g h} = \sqrt{5^2 + 2 \cdot 10 \cdot 5} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} \approx 11,18 \text{ м/с}\] 2) В воде на спортсмена действуют сила тяжести и сила сопротивления. По теореме об изменении кинетической энергии: \[A_{тяж} + A_{сопр} = 0 - \frac{m v^2}{2}\] \[m g L - F_c L = -\frac{m v^2}{2}\] \[F_c L = m g L + \frac{m v^2}{2}\] \[F_c = m g + \frac{m v^2}{2 L}\] Подставим значения: \[F_c = 50 \cdot 10 + \frac{50 \cdot 125}{2 \cdot 3} = 500 + \frac{6250}{6} \approx 500 + 1041,67 = 1541,67 \text{ Н}\] Ответ: \(v \approx 11,18\) м/с; \(F_c \approx 1541,67\) Н. Решение задачи №13 Дано: \(v = 12\) м/с \(\mu = 0,15\) \(m = 80\) кг \(g = 10\) м/с\(^2\) Найти: \(S\) — ? Решение: Работа силы трения равна изменению кинетической энергии лыжника: \[A_{тр} = \Delta E_k\] \[-F_{тр} S = 0 - \frac{m v^2}{2}\] Сила трения на горизонтальной поверхности: \(F_{тр} = \mu m g\). \[\mu m g S = \frac{m v^2}{2}\] Выразим путь \(S\): \[S = \frac{v^2}{2 \mu g}\] Подставим значения: \[S = \frac{12^2}{2 \cdot 0,15 \cdot 10} = \frac{144}{3} = 48 \text{ м}\] Ответ: \(S = 48\) м.